Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18768 / 10544
↖ ↑ ↗
← N 81.805024°
W128.452148°		 ← 43.54 m → N 81.805024°
W128.449402°		 →
↑
43.58 m
↓
↑
43.58 m
↓
N 81.804632°
W128.452148°		 ← 43.54 m →
1 897 m²		 N 81.804632°
W128.449402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143192291259766 y=0.0804481506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143192291259766 × 217)
    floor (0.143192291259766 × 131072)
    floor (18768.5)     		tx = 18768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0804481506347656 × 217)
    floor (0.0804481506347656 × 131072)
    floor (10544.5)     		ty = 10544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18768 / 10544 ti = "17/18768/10544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18768/10544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18768 ÷ 217
    18768 ÷ 131072     		x = 0.1431884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10544 ÷ 217
    10544 ÷ 131072     		y = 0.0804443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1431884765625 × 2 - 1) × π
    -0.713623046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.24191292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0804443359375 × 2 - 1) × π
    0.839111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.63614598390613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24191292} λ = -2.24191292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.63614598390613))-π/2
    2×atan(13.9593004340727)-π/2
    2×1.49928166594665-π/2
    2.9985633318933-1.57079632675     		φ = 1.42776701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24191292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.452148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42776701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.805024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18768 KachelY 10544 -2.24191292 1.42776701 -128.452148 81.805024
    Oben rechts KachelX + 1 18769 KachelY 10544 -2.24186498 1.42776701 -128.449402 81.805024
    Unten links KachelX 18768 KachelY + 1 10545 -2.24191292 1.42776017 -128.452148 81.804632
    Unten rechts KachelX + 1 18769 KachelY + 1 10545 -2.24186498 1.42776017 -128.449402 81.804632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42776701-1.42776017) × R
    6.83999999995244e-06 × 6371000     		dl = 43.577639999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42776701-1.42776017) × R
    6.83999999995244e-06 × 6371000     		dr = 43.577639999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24191292--2.24186498) × cos(1.42776701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14254214772789 × 6371000     		do = 43.5360409509514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24191292--2.24186498) × cos(1.42776017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.142548917879489 × 6371000     		du = 43.5381087295137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42776701)-sin(1.42776017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14254214772789-0.142548917879489)×R²
    abs(-2.24186498--2.24191292)×6.77015159966654e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.77015159966654e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.77015159966654e-06×40589641000000     		ar = 1897.24297400645m²