Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18767 / 13967
↖ ↑ ↗
← N 25.651430°
E 26.180420°		 ← 1 101.18 m → N 25.651430°
E 26.191406°		 →
↑
1 101.29 m
↓
↑
1 101.29 m
↓
N 25.641526°
E 26.180420°		 ← 1 101.27 m →
1 212 773 m²		 N 25.641526°
E 26.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572738647460938 y=0.426254272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572738647460938 × 215)
    floor (0.572738647460938 × 32768)
    floor (18767.5)     		tx = 18767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426254272460938 × 215)
    floor (0.426254272460938 × 32768)
    floor (13967.5)     		ty = 13967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18767 / 13967 ti = "15/18767/13967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18767/13967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18767 ÷ 215
    18767 ÷ 32768     		x = 0.572723388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13967 ÷ 215
    13967 ÷ 32768     		y = 0.426239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572723388671875 × 2 - 1) × π
    0.14544677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45693453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426239013671875 × 2 - 1) × π
    0.14752197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.463453945526703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45693453} λ = 0.45693453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.463453945526703))-π/2
    2×atan(1.58955474993202)-π/2
    2×1.0092491220924-π/2
    2.01849824418479-1.57079632675     		φ = 0.44770192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45693453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.180420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44770192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.651430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18767 KachelY 13967 0.45693453 0.44770192 26.180420 25.651430
    Oben rechts KachelX + 1 18768 KachelY 13967 0.45712627 0.44770192 26.191406 25.651430
    Unten links KachelX 18767 KachelY + 1 13968 0.45693453 0.44752906 26.180420 25.641526
    Unten rechts KachelX + 1 18768 KachelY + 1 13968 0.45712627 0.44752906 26.191406 25.641526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44770192-0.44752906) × R
    0.000172859999999997 × 6371000     		dl = 1101.29105999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44770192-0.44752906) × R
    0.000172859999999997 × 6371000     		dr = 1101.29105999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45693453-0.45712627) × cos(0.44770192) × R
    0.000191739999999996 × 0.901444309360652 × 6371000     		do = 1101.18231898714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45693453-0.45712627) × cos(0.44752906) × R
    0.000191739999999996 × 0.901519126137334 × 6371000     		du = 1101.27371333152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44770192)-sin(0.44752906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901444309360652-0.901519126137334)×R²
    abs(0.45712627-0.45693453)×7.48167766813079e-05×R²
    0.000191739999999996×7.48167766813079e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.48167766813079e-05×40589641000000     		ar = 1212772.5722376m²