Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18765 / 14153
↖ ↑ ↗
← N 23.795397°
E 26.158447°		 ← 1 117.79 m → N 23.795397°
E 26.169434°		 →
↑
1 117.79 m
↓
↑
1 117.79 m
↓
N 23.785345°
E 26.158447°		 ← 1 117.88 m →
1 249 505 m²		 N 23.785345°
E 26.169434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572677612304688 y=0.431930541992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572677612304688 × 215)
    floor (0.572677612304688 × 32768)
    floor (18765.5)     		tx = 18765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431930541992188 × 215)
    floor (0.431930541992188 × 32768)
    floor (14153.5)     		ty = 14153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18765 / 14153 ti = "15/18765/14153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18765/14153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18765 ÷ 215
    18765 ÷ 32768     		x = 0.572662353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14153 ÷ 215
    14153 ÷ 32768     		y = 0.431915283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572662353515625 × 2 - 1) × π
    0.14532470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45655103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431915283203125 × 2 - 1) × π
    0.13616943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.427788892209381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45655103} λ = 0.45655103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.427788892209381))-π/2
    2×atan(1.53386223651787)-π/2
    2×0.993052180844794-π/2
    1.98610436168959-1.57079632675     		φ = 0.41530803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45655103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.158447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41530803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.795397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18765 KachelY 14153 0.45655103 0.41530803 26.158447 23.795397
    Oben rechts KachelX + 1 18766 KachelY 14153 0.45674278 0.41530803 26.169434 23.795397
    Unten links KachelX 18765 KachelY + 1 14154 0.45655103 0.41513258 26.158447 23.785345
    Unten rechts KachelX + 1 18766 KachelY + 1 14154 0.45674278 0.41513258 26.169434 23.785345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41530803-0.41513258) × R
    0.000175450000000021 × 6371000     		dl = 1117.79195000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41530803-0.41513258) × R
    0.000175450000000021 × 6371000     		dr = 1117.79195000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45655103-0.45674278) × cos(0.41530803) × R
    0.000191749999999991 × 0.914992082488086 × 6371000     		do = 1117.79024140663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45655103-0.45674278) × cos(0.41513258) × R
    0.000191749999999991 × 0.915062857531109 × 6371000     		du = 1117.87670297711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41530803)-sin(0.41513258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914992082488086-0.915062857531109)×R²
    abs(0.45674278-0.45655103)×7.077504302333e-05×R²
    0.000191749999999991×7.077504302333e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.077504302333e-05×40589641000000     		ar = 1249505.2598617m²