Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18764 / 13892
↖ ↑ ↗
← N 26.391870°
E 26.147461°		 ← 1 094.31 m → N 26.391870°
E 26.158447°		 →
↑
1 094.35 m
↓
↑
1 094.35 m
↓
N 26.382028°
E 26.147461°		 ← 1 094.41 m →
1 197 610 m²		 N 26.382028°
E 26.158447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572647094726562 y=0.423965454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572647094726562 × 215)
    floor (0.572647094726562 × 32768)
    floor (18764.5)     		tx = 18764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423965454101562 × 215)
    floor (0.423965454101562 × 32768)
    floor (13892.5)     		ty = 13892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18764 / 13892 ti = "15/18764/13892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18764/13892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18764 ÷ 215
    18764 ÷ 32768     		x = 0.5726318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13892 ÷ 215
    13892 ÷ 32768     		y = 0.4239501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5726318359375 × 2 - 1) × π
    0.145263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45635928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4239501953125 × 2 - 1) × π
    0.152099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.47783501541272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45635928} λ = 0.45635928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47783501541272))-π/2
    2×atan(1.61257941068675)-π/2
    2×1.01571067415613-π/2
    2.03142134831227-1.57079632675     		φ = 0.46062502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45635928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.147461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46062502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.391870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18764 KachelY 13892 0.45635928 0.46062502 26.147461 26.391870
    Oben rechts KachelX + 1 18765 KachelY 13892 0.45655103 0.46062502 26.158447 26.391870
    Unten links KachelX 18764 KachelY + 1 13893 0.45635928 0.46045325 26.147461 26.382028
    Unten rechts KachelX + 1 18765 KachelY + 1 13893 0.45655103 0.46045325 26.158447 26.382028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46062502-0.46045325) × R
    0.000171770000000016 × 6371000     		dl = 1094.3466700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46062502-0.46045325) × R
    0.000171770000000016 × 6371000     		dr = 1094.3466700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45635928-0.45655103) × cos(0.46062502) × R
    0.000191750000000046 × 0.895774846076327 × 6371000     		do = 1094.31371112981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45635928-0.45655103) × cos(0.46045325) × R
    0.000191750000000046 × 0.89585118601241 × 6371000     		du = 1094.40697099207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46062502)-sin(0.46045325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895774846076327-0.89585118601241)×R²
    abs(0.45655103-0.45635928)×7.63399360828032e-05×R²
    0.000191750000000046×7.63399360828032e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.63399360828032e-05×40589641000000     		ar = 1197609.59796464m²