Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18762 / 14086
↖ ↑ ↗
← N 24.467151°
E 26.125488°		 ← 1 111.93 m → N 24.467151°
E 26.136475°		 →
↑
1 111.99 m
↓
↑
1 111.99 m
↓
N 24.457150°
E 26.125488°		 ← 1 112.02 m →
1 236 514 m²		 N 24.457150°
E 26.136475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572586059570312 y=0.429885864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572586059570312 × 215)
    floor (0.572586059570312 × 32768)
    floor (18762.5)     		tx = 18762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429885864257812 × 215)
    floor (0.429885864257812 × 32768)
    floor (14086.5)     		ty = 14086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18762 / 14086 ti = "15/18762/14086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18762/14086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18762 ÷ 215
    18762 ÷ 32768     		x = 0.57257080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14086 ÷ 215
    14086 ÷ 32768     		y = 0.42987060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57257080078125 × 2 - 1) × π
    0.1451416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45597579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42987060546875 × 2 - 1) × π
    0.1402587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.440635981307556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45597579} λ = 0.45597579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.440635981307556))-π/2
    2×atan(1.55369502535847)-π/2
    2×0.998914332232324-π/2
    1.99782866446465-1.57079632675     		φ = 0.42703234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45597579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.125488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42703234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.467151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18762 KachelY 14086 0.45597579 0.42703234 26.125488 24.467151
    Oben rechts KachelX + 1 18763 KachelY 14086 0.45616754 0.42703234 26.136475 24.467151
    Unten links KachelX 18762 KachelY + 1 14087 0.45597579 0.42685780 26.125488 24.457150
    Unten rechts KachelX + 1 18763 KachelY + 1 14087 0.45616754 0.42685780 26.136475 24.457150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42703234-0.42685780) × R
    0.000174540000000001 × 6371000     		dl = 1111.99434000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42703234-0.42685780) × R
    0.000174540000000001 × 6371000     		dr = 1111.99434000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45597579-0.45616754) × cos(0.42703234) × R
    0.000191749999999991 × 0.910198876034109 × 6371000     		do = 1111.9346722691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45597579-0.45616754) × cos(0.42685780) × R
    0.000191749999999991 × 0.910271151657765 × 6371000     		du = 1112.02296700777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42703234)-sin(0.42685780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910198876034109-0.910271151657765)×R²
    abs(0.45616754-0.45597579)×7.22756236567479e-05×R²
    0.000191749999999991×7.22756236567479e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.22756236567479e-05×40589641000000     		ar = 1236514.15677707m²