Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18761 / 13995
↖ ↑ ↗
← N 25.373809°
E 26.114502°		 ← 1 103.79 m → N 25.373809°
E 26.125488°		 →
↑
1 103.78 m
↓
↑
1 103.78 m
↓
N 25.363882°
E 26.114502°		 ← 1 103.88 m →
1 218 386 m²		 N 25.363882°
E 26.125488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572555541992188 y=0.427108764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572555541992188 × 215)
    floor (0.572555541992188 × 32768)
    floor (18761.5)     		tx = 18761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427108764648438 × 215)
    floor (0.427108764648438 × 32768)
    floor (13995.5)     		ty = 13995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18761 / 13995 ti = "15/18761/13995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18761/13995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18761 ÷ 215
    18761 ÷ 32768     		x = 0.572540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13995 ÷ 215
    13995 ÷ 32768     		y = 0.427093505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572540283203125 × 2 - 1) × π
    0.14508056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45578404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427093505859375 × 2 - 1) × π
    0.14581298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.458085012769257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45578404} λ = 0.45578404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.458085012769257))-π/2
    2×atan(1.58104340622662)-π/2
    2×1.00682642029962-π/2
    2.01365284059924-1.57079632675     		φ = 0.44285651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45578404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.114502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44285651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.373809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18761 KachelY 13995 0.45578404 0.44285651 26.114502 25.373809
    Oben rechts KachelX + 1 18762 KachelY 13995 0.45597579 0.44285651 26.125488 25.373809
    Unten links KachelX 18761 KachelY + 1 13996 0.45578404 0.44268326 26.114502 25.363882
    Unten rechts KachelX + 1 18762 KachelY + 1 13996 0.45597579 0.44268326 26.125488 25.363882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44285651-0.44268326) × R
    0.000173249999999958 × 6371000     		dl = 1103.77574999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44285651-0.44268326) × R
    0.000173249999999958 × 6371000     		dr = 1103.77574999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45578404-0.45597579) × cos(0.44285651) × R
    0.000191749999999991 × 0.903531273307584 × 6371000     		do = 1103.78926707497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45578404-0.45597579) × cos(0.44268326) × R
    0.000191749999999991 × 0.903605501210735 × 6371000     		du = 1103.8799467949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44285651)-sin(0.44268326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903531273307584-0.903605501210735)×R²
    abs(0.45597579-0.45578404)×7.42279031502591e-05×R²
    0.000191749999999991×7.42279031502591e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.42279031502591e-05×40589641000000     		ar = 1218385.87419291m²