Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18760 / 13913
↖ ↑ ↗
← N 26.185018°
E 26.103515°		 ← 1 096.27 m → N 26.185018°
E 26.114502°		 →
↑
1 096.26 m
↓
↑
1 096.26 m
↓
N 26.175159°
E 26.103515°		 ← 1 096.36 m →
1 201 842 m²		 N 26.175159°
E 26.114502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572525024414062 y=0.424606323242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572525024414062 × 215)
    floor (0.572525024414062 × 32768)
    floor (18760.5)     		tx = 18760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424606323242188 × 215)
    floor (0.424606323242188 × 32768)
    floor (13913.5)     		ty = 13913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18760 / 13913 ti = "15/18760/13913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18760/13913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18760 ÷ 215
    18760 ÷ 32768     		x = 0.572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13913 ÷ 215
    13913 ÷ 32768     		y = 0.424591064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572509765625 × 2 - 1) × π
    0.14501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45559229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424591064453125 × 2 - 1) × π
    0.15081787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.473808315844635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45559229} λ = 0.45559229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473808315844635))-π/2
    2×atan(1.60609909377105)-π/2
    2×1.01390555497071-π/2
    2.02781110994141-1.57079632675     		φ = 0.45701478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45559229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.103515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45701478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.185018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18760 KachelY 13913 0.45559229 0.45701478 26.103515 26.185018
    Oben rechts KachelX + 1 18761 KachelY 13913 0.45578404 0.45701478 26.114502 26.185018
    Unten links KachelX 18760 KachelY + 1 13914 0.45559229 0.45684271 26.103515 26.175159
    Unten rechts KachelX + 1 18761 KachelY + 1 13914 0.45578404 0.45684271 26.114502 26.175159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45701478-0.45684271) × R
    0.000172070000000024 × 6371000     		dl = 1096.25797000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45701478-0.45684271) × R
    0.000172070000000024 × 6371000     		dr = 1096.25797000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45559229-0.45578404) × cos(0.45701478) × R
    0.000191749999999991 × 0.89737378572484 × 6371000     		do = 1096.2670385625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45559229-0.45578404) × cos(0.45684271) × R
    0.000191749999999991 × 0.897449701978355 × 6371000     		du = 1096.35978083751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45701478)-sin(0.45684271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89737378572484-0.897449701978355)×R²
    abs(0.45578404-0.45559229)×7.59162535144409e-05×R²
    0.000191749999999991×7.59162535144409e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.59162535144409e-05×40589641000000     		ar = 1201842.31596719m²