Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18760 / 13896
↖ ↑ ↗
← N 26.352498°
E 26.103515°		 ← 1 094.69 m → N 26.352498°
E 26.114502°		 →
↑
1 094.67 m
↓
↑
1 094.67 m
↓
N 26.342653°
E 26.103515°		 ← 1 094.78 m →
1 198 366 m²		 N 26.342653°
E 26.114502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572525024414062 y=0.424087524414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572525024414062 × 215)
    floor (0.572525024414062 × 32768)
    floor (18760.5)     		tx = 18760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424087524414062 × 215)
    floor (0.424087524414062 × 32768)
    floor (13896.5)     		ty = 13896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18760 / 13896 ti = "15/18760/13896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18760/13896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18760 ÷ 215
    18760 ÷ 32768     		x = 0.572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13896 ÷ 215
    13896 ÷ 32768     		y = 0.424072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572509765625 × 2 - 1) × π
    0.14501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45559229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424072265625 × 2 - 1) × π
    0.15185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.477068025018799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45559229} λ = 0.45559229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.477068025018799))-π/2
    2×atan(1.61134305196756)-π/2
    2×1.01536709026611-π/2
    2.03073418053222-1.57079632675     		φ = 0.45993785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45559229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.103515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45993785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.352498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18760 KachelY 13896 0.45559229 0.45993785 26.103515 26.352498
    Oben rechts KachelX + 1 18761 KachelY 13896 0.45578404 0.45993785 26.114502 26.352498
    Unten links KachelX 18760 KachelY + 1 13897 0.45559229 0.45976603 26.103515 26.342653
    Unten rechts KachelX + 1 18761 KachelY + 1 13897 0.45578404 0.45976603 26.114502 26.342653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45993785-0.45976603) × R
    0.000171819999999989 × 6371000     		dl = 1094.66521999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45993785-0.45976603) × R
    0.000171819999999989 × 6371000     		dr = 1094.66521999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45559229-0.45578404) × cos(0.45993785) × R
    0.000191749999999991 × 0.896080087169799 × 6371000     		do = 1094.68660562999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45559229-0.45578404) × cos(0.45976603) × R
    0.000191749999999991 × 0.896156343537329 × 6371000     		du = 1094.77976340163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45993785)-sin(0.45976603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896080087169799-0.896156343537329)×R²
    abs(0.45578404-0.45559229)×7.62563675298367e-05×R²
    0.000191749999999991×7.62563675298367e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.62563675298367e-05×40589641000000     		ar = 1198366.3452173m²