Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1876 / 946
↖ ↑ ↗
← N 69.099940°
W 15.117188°		 ← 3 486.43 m → N 69.099940°
W 15.029297°		 →
↑
3 488.89 m
↓
↑
3 488.89 m
↓
N 69.068563°
W 15.117188°		 ← 3 491.43 m →
12 172 475 m²		 N 69.068563°
W 15.029297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4581298828125 y=0.2310791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4581298828125 × 212)
    floor (0.4581298828125 × 4096)
    floor (1876.5)     		tx = 1876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2310791015625 × 212)
    floor (0.2310791015625 × 4096)
    floor (946.5)     		ty = 946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1876 / 946 ti = "12/1876/946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1876/946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1876 ÷ 212
    1876 ÷ 4096     		x = 0.4580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 946 ÷ 212
    946 ÷ 4096     		y = 0.23095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4580078125 × 2 - 1) × π
    -0.083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26384470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23095703125 × 2 - 1) × π
    0.5380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69044682820166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26384470} λ = -0.26384470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69044682820166))-π/2
    2×atan(5.42190282304361)-π/2
    2×1.3884088935114-π/2
    2.7768177870228-1.57079632675     		φ = 1.20602146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26384470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.117188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20602146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.099940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1876 KachelY 946 -0.26384470 1.20602146 -15.117188 69.099940
    Oben rechts KachelX + 1 1877 KachelY 946 -0.26231071 1.20602146 -15.029297 69.099940
    Unten links KachelX 1876 KachelY + 1 947 -0.26384470 1.20547384 -15.117188 69.068563
    Unten rechts KachelX + 1 1877 KachelY + 1 947 -0.26231071 1.20547384 -15.029297 69.068563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20602146-1.20547384) × R
    0.000547620000000082 × 6371000     		dl = 3488.88702000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20602146-1.20547384) × R
    0.000547620000000082 × 6371000     		dr = 3488.88702000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26384470--0.26231071) × cos(1.20602146) × R
    0.00153398999999999 × 0.356738983156393 × 6371000     		do = 3486.42802279086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26384470--0.26231071) × cos(1.20547384) × R
    0.00153398999999999 × 0.357250518488506 × 6371000     		du = 3491.42728331671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20602146)-sin(1.20547384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356738983156393-0.357250518488506)×R²
    abs(-0.26231071--0.26384470)×0.0005115353321129×R²
    0.00153398999999999×0.0005115353321129×6371000²
    0.00153398999999999×0.0005115353321129×40589641000000     		ar = 12172474.7066556m²