Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1876 / 1362
↖ ↑ ↗
← N 75.994839°
W 97.558593°		 ← 1 182.58 m → N 75.994839°
W 97.514648°		 →
↑
1 183.03 m
↓
↑
1 183.03 m
↓
N 75.984200°
W 97.558593°		 ← 1 183.46 m →
1 399 546 m²		 N 75.984200°
W 97.514648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22906494140625 y=0.16632080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22906494140625 × 213)
    floor (0.22906494140625 × 8192)
    floor (1876.5)     		tx = 1876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16632080078125 × 213)
    floor (0.16632080078125 × 8192)
    floor (1362.5)     		ty = 1362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1876 / 1362 ti = "13/1876/1362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1876/1362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1876 ÷ 213
    1876 ÷ 8192     		x = 0.22900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1362 ÷ 213
    1362 ÷ 8192     		y = 0.166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22900390625 × 2 - 1) × π
    -0.5419921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.70271867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166259765625 × 2 - 1) × π
    0.66748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09695173697974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70271867} λ = -1.70271867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09695173697974))-π/2
    2×atan(8.14131517993282)-π/2
    2×1.44857824213115-π/2
    2.8971564842623-1.57079632675     		φ = 1.32636016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70271867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.558593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32636016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.994839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1876 KachelY 1362 -1.70271867 1.32636016 -97.558593 75.994839
    Oben rechts KachelX + 1 1877 KachelY 1362 -1.70195168 1.32636016 -97.514648 75.994839
    Unten links KachelX 1876 KachelY + 1 1363 -1.70271867 1.32617447 -97.558593 75.984200
    Unten rechts KachelX + 1 1877 KachelY + 1 1363 -1.70195168 1.32617447 -97.514648 75.984200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32636016-1.32617447) × R
    0.000185689999999905 × 6371000     		dl = 1183.0309899994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32636016-1.32617447) × R
    0.000185689999999905 × 6371000     		dr = 1183.0309899994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70271867--1.70195168) × cos(1.32636016) × R
    0.000766990000000023 × 0.242009290624942 × 6371000     		do = 1182.57677475647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70271867--1.70195168) × cos(1.32617447) × R
    0.000766990000000023 × 0.242189456618018 × 6371000     		du = 1183.45715467273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32636016)-sin(1.32617447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242009290624942-0.242189456618018)×R²
    abs(-1.70195168--1.70271867)×0.000180165993076187×R²
    0.000766990000000023×0.000180165993076187×6371000²
    0.000766990000000023×0.000180165993076187×40589641000000     		ar = 1399545.73497329m²