Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18759 / 13901
↖ ↑ ↗
← N 26.303265°
E 26.092530°		 ← 1 095.10 m → N 26.303265°
E 26.103515°		 →
↑
1 095.24 m
↓
↑
1 095.24 m
↓
N 26.293415°
E 26.092530°		 ← 1 095.19 m →
1 199 441 m²		 N 26.293415°
E 26.103515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572494506835938 y=0.424240112304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572494506835938 × 215)
    floor (0.572494506835938 × 32768)
    floor (18759.5)     		tx = 18759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424240112304688 × 215)
    floor (0.424240112304688 × 32768)
    floor (13901.5)     		ty = 13901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18759 / 13901 ti = "15/18759/13901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18759/13901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18759 ÷ 215
    18759 ÷ 32768     		x = 0.572479248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13901 ÷ 215
    13901 ÷ 32768     		y = 0.424224853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572479248046875 × 2 - 1) × π
    0.14495849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45540055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424224853515625 × 2 - 1) × π
    0.15155029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.476109287026398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45540055} λ = 0.45540055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476109287026398))-π/2
    2×atan(1.60979893648421)-π/2
    2×1.01493744589106-π/2
    2.02987489178213-1.57079632675     		φ = 0.45907857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45540055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.092530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45907857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.303265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18759 KachelY 13901 0.45540055 0.45907857 26.092530 26.303265
    Oben rechts KachelX + 1 18760 KachelY 13901 0.45559229 0.45907857 26.103515 26.303265
    Unten links KachelX 18759 KachelY + 1 13902 0.45540055 0.45890666 26.092530 26.293415
    Unten rechts KachelX + 1 18760 KachelY + 1 13902 0.45559229 0.45890666 26.103515 26.293415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45907857-0.45890666) × R
    0.000171909999999997 × 6371000     		dl = 1095.23860999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45907857-0.45890666) × R
    0.000171909999999997 × 6371000     		dr = 1095.23860999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45540055-0.45559229) × cos(0.45907857) × R
    0.000191739999999996 × 0.896461184182688 × 6371000     		do = 1095.09505515698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45540055-0.45559229) × cos(0.45890666) × R
    0.000191739999999996 × 0.896537348084991 × 6371000     		du = 1095.18809511707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45907857)-sin(0.45890666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896461184182688-0.896537348084991)×R²
    abs(0.45559229-0.45540055)×7.61639023024729e-05×R²
    0.000191739999999996×7.61639023024729e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.61639023024729e-05×40589641000000     		ar = 1199441.33945999m²