Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18758 / 13653
↖ ↑ ↗
← N 28.719496°
E 26.081543°		 ← 1 071.36 m → N 28.719496°
E 26.092530°		 →
↑
1 071.41 m
↓
↑
1 071.41 m
↓
N 28.709861°
E 26.081543°		 ← 1 071.46 m →
1 147 916 m²		 N 28.709861°
E 26.092530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572463989257812 y=0.416671752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572463989257812 × 215)
    floor (0.572463989257812 × 32768)
    floor (18758.5)     		tx = 18758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416671752929688 × 215)
    floor (0.416671752929688 × 32768)
    floor (13653.5)     		ty = 13653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18758 / 13653 ti = "15/18758/13653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18758/13653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18758 ÷ 215
    18758 ÷ 32768     		x = 0.57244873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13653 ÷ 215
    13653 ÷ 32768     		y = 0.416656494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57244873046875 × 2 - 1) × π
    0.1448974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45520880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416656494140625 × 2 - 1) × π
    0.16668701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.523662691449493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45520880} λ = 0.45520880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523662691449493))-π/2
    2×atan(1.68819969423664)-π/2
    2×1.03602304668617-π/2
    2.07204609337234-1.57079632675     		φ = 0.50124977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45520880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.081543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50124977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.719496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18758 KachelY 13653 0.45520880 0.50124977 26.081543 28.719496
    Oben rechts KachelX + 1 18759 KachelY 13653 0.45540055 0.50124977 26.092530 28.719496
    Unten links KachelX 18758 KachelY + 1 13654 0.45520880 0.50108160 26.081543 28.709861
    Unten rechts KachelX + 1 18759 KachelY + 1 13654 0.45540055 0.50108160 26.092530 28.709861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50124977-0.50108160) × R
    0.000168170000000023 × 6371000     		dl = 1071.41107000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50124977-0.50108160) × R
    0.000168170000000023 × 6371000     		dr = 1071.41107000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45520880-0.45540055) × cos(0.50124977) × R
    0.000191749999999991 × 0.876982705031963 × 6371000     		do = 1071.35649403817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45520880-0.45540055) × cos(0.50108160) × R
    0.000191749999999991 × 0.877063502005237 × 6371000     		du = 1071.455198792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50124977)-sin(0.50108160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876982705031963-0.877063502005237)×R²
    abs(0.45540055-0.45520880)×8.0796973274011e-05×R²
    0.000191749999999991×8.0796973274011e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.0796973274011e-05×40589641000000     		ar = 1147916.08701748m²