Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18757 / 13891
↖ ↑ ↗
← N 26.401711°
E 26.070557°		 ← 1 094.22 m → N 26.401711°
E 26.081543°		 →
↑
1 094.28 m
↓
↑
1 094.28 m
↓
N 26.391870°
E 26.070557°		 ← 1 094.31 m →
1 197 438 m²		 N 26.391870°
E 26.081543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572433471679688 y=0.423934936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572433471679688 × 215)
    floor (0.572433471679688 × 32768)
    floor (18757.5)     		tx = 18757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423934936523438 × 215)
    floor (0.423934936523438 × 32768)
    floor (13891.5)     		ty = 13891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18757 / 13891 ti = "15/18757/13891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18757/13891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18757 ÷ 215
    18757 ÷ 32768     		x = 0.572418212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13891 ÷ 215
    13891 ÷ 32768     		y = 0.423919677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572418212890625 × 2 - 1) × π
    0.14483642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45501705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423919677734375 × 2 - 1) × π
    0.15216064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.4780267630112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45501705} λ = 0.45501705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4780267630112))-π/2
    2×atan(1.61288864856297)-π/2
    2×1.01579655183353-π/2
    2.03159310366706-1.57079632675     		φ = 0.46079678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45501705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.070557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46079678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.401711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18757 KachelY 13891 0.45501705 0.46079678 26.070557 26.401711
    Oben rechts KachelX + 1 18758 KachelY 13891 0.45520880 0.46079678 26.081543 26.401711
    Unten links KachelX 18757 KachelY + 1 13892 0.45501705 0.46062502 26.070557 26.391870
    Unten rechts KachelX + 1 18758 KachelY + 1 13892 0.45520880 0.46062502 26.081543 26.391870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46079678-0.46062502) × R
    0.000171760000000021 × 6371000     		dl = 1094.28296000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46079678-0.46062502) × R
    0.000171760000000021 × 6371000     		dr = 1094.28296000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45501705-0.45520880) × cos(0.46079678) × R
    0.000191750000000046 × 0.895698484157087 × 6371000     		do = 1094.22042441206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45501705-0.45520880) × cos(0.46062502) × R
    0.000191750000000046 × 0.895774846076327 × 6371000     		du = 1094.31371112981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46079678)-sin(0.46062502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895698484157087-0.895774846076327)×R²
    abs(0.45520880-0.45501705)×7.63619192400977e-05×R²
    0.000191750000000046×7.63619192400977e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.63619192400977e-05×40589641000000     		ar = 1197437.80889509m²