Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18756 / 13892
↖ ↑ ↗
← N 26.391870°
E 26.059570°		 ← 1 094.31 m → N 26.391870°
E 26.070557°		 →
↑
1 094.35 m
↓
↑
1 094.35 m
↓
N 26.382028°
E 26.059570°		 ← 1 094.41 m →
1 197 610 m²		 N 26.382028°
E 26.070557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572402954101562 y=0.423965454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572402954101562 × 215)
    floor (0.572402954101562 × 32768)
    floor (18756.5)     		tx = 18756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423965454101562 × 215)
    floor (0.423965454101562 × 32768)
    floor (13892.5)     		ty = 13892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18756 / 13892 ti = "15/18756/13892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18756/13892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18756 ÷ 215
    18756 ÷ 32768     		x = 0.5723876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13892 ÷ 215
    13892 ÷ 32768     		y = 0.4239501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5723876953125 × 2 - 1) × π
    0.144775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45482530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4239501953125 × 2 - 1) × π
    0.152099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.47783501541272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45482530} λ = 0.45482530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.47783501541272))-π/2
    2×atan(1.61257941068675)-π/2
    2×1.01571067415613-π/2
    2.03142134831227-1.57079632675     		φ = 0.46062502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45482530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.059570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46062502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.391870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18756 KachelY 13892 0.45482530 0.46062502 26.059570 26.391870
    Oben rechts KachelX + 1 18757 KachelY 13892 0.45501705 0.46062502 26.070557 26.391870
    Unten links KachelX 18756 KachelY + 1 13893 0.45482530 0.46045325 26.059570 26.382028
    Unten rechts KachelX + 1 18757 KachelY + 1 13893 0.45501705 0.46045325 26.070557 26.382028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46062502-0.46045325) × R
    0.000171770000000016 × 6371000     		dl = 1094.3466700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46062502-0.46045325) × R
    0.000171770000000016 × 6371000     		dr = 1094.3466700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45482530-0.45501705) × cos(0.46062502) × R
    0.000191749999999991 × 0.895774846076327 × 6371000     		do = 1094.3137111295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45482530-0.45501705) × cos(0.46045325) × R
    0.000191749999999991 × 0.89585118601241 × 6371000     		du = 1094.40697099176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46062502)-sin(0.46045325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895774846076327-0.89585118601241)×R²
    abs(0.45501705-0.45482530)×7.63399360828032e-05×R²
    0.000191749999999991×7.63399360828032e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.63399360828032e-05×40589641000000     		ar = 1197609.59796429m²