Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18755 / 10563
↖ ↑ ↗
← N 81.797582°
W128.487854°		 ← 43.58 m → N 81.797582°
W128.485107°		 →
↑
43.58 m
↓
↑
43.58 m
↓
N 81.797190°
W128.487854°		 ← 43.58 m →
1 899 m²		 N 81.797190°
W128.485107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143093109130859 y=0.0805931091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143093109130859 × 217)
    floor (0.143093109130859 × 131072)
    floor (18755.5)     		tx = 18755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0805931091308594 × 217)
    floor (0.0805931091308594 × 131072)
    floor (10563.5)     		ty = 10563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18755 / 10563 ti = "17/18755/10563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18755/10563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18755 ÷ 217
    18755 ÷ 131072     		x = 0.143089294433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10563 ÷ 217
    10563 ÷ 131072     		y = 0.0805892944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.143089294433594 × 2 - 1) × π
    -0.713821411132812 × 3.1415926535     		Λ = -2.24253610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0805892944335938 × 2 - 1) × π
    0.838821411132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.63523518281335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24253610} λ = -2.24253610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.63523518281335))-π/2
    2×atan(13.9465920762545)-π/2
    2×1.49921672290396-π/2
    2.99843344580793-1.57079632675     		φ = 1.42763712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24253610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.487854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42763712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.797582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18755 KachelY 10563 -2.24253610 1.42763712 -128.487854 81.797582
    Oben rechts KachelX + 1 18756 KachelY 10563 -2.24248816 1.42763712 -128.485107 81.797582
    Unten links KachelX 18755 KachelY + 1 10564 -2.24253610 1.42763028 -128.487854 81.797190
    Unten rechts KachelX + 1 18756 KachelY + 1 10564 -2.24248816 1.42763028 -128.485107 81.797190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42763712-1.42763028) × R
    6.83999999995244e-06 × 6371000     		dl = 43.577639999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42763712-1.42763028) × R
    6.83999999995244e-06 × 6371000     		dr = 43.577639999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24253610--2.24248816) × cos(1.42763712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.142670710183623 × 6371000     		do = 43.5753072341301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24253610--2.24248816) × cos(1.42763028) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.142677480208522 × 6371000     		du = 43.5773749739945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42763712)-sin(1.42763028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.142670710183623-0.142677480208522)×R²
    abs(-2.24248816--2.24253610)×6.77002489832268e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.77002489832268e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.77002489832268e-06×40589641000000     		ar = 1898.95410518913m²