Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18752 / 14272
↖ ↑ ↗
← N 22.593726°
E 26.015625°		 ← 1 127.88 m → N 22.593726°
E 26.026611°		 →
↑
1 127.92 m
↓
↑
1 127.92 m
↓
N 22.583582°
E 26.015625°		 ← 1 127.96 m →
1 272 209 m²		 N 22.583582°
E 26.026611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572280883789062 y=0.435562133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572280883789062 × 215)
    floor (0.572280883789062 × 32768)
    floor (18752.5)     		tx = 18752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435562133789062 × 215)
    floor (0.435562133789062 × 32768)
    floor (14272.5)     		ty = 14272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18752 / 14272 ti = "15/18752/14272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18752/14272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18752 ÷ 215
    18752 ÷ 32768     		x = 0.572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14272 ÷ 215
    14272 ÷ 32768     		y = 0.435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572265625 × 2 - 1) × π
    0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435546875 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.404970927990234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45405831} λ = 0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404970927990234))-π/2
    2×atan(1.49925891295343)-π/2
    2×0.982565618446718-π/2
    1.96513123689344-1.57079632675     		φ = 0.39433491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39433491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.593726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18752 KachelY 14272 0.45405831 0.39433491 26.015625 22.593726
    Oben rechts KachelX + 1 18753 KachelY 14272 0.45425006 0.39433491 26.026611 22.593726
    Unten links KachelX 18752 KachelY + 1 14273 0.45405831 0.39415787 26.015625 22.583582
    Unten rechts KachelX + 1 18753 KachelY + 1 14273 0.45425006 0.39415787 26.026611 22.583582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39433491-0.39415787) × R
    0.000177039999999962 × 6371000     		dl = 1127.92183999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39433491-0.39415787) × R
    0.000177039999999962 × 6371000     		dr = 1127.92183999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45405831-0.45425006) × cos(0.39433491) × R
    0.000191749999999991 × 0.923252292281228 × 6371000     		do = 1127.88123790316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45405831-0.45425006) × cos(0.39415787) × R
    0.000191749999999991 × 0.923320295558168 × 6371000     		du = 1127.9643133754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39433491)-sin(0.39415787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923252292281228-0.923320295558168)×R²
    abs(0.45425006-0.45405831)×6.80032769397876e-05×R²
    0.000191749999999991×6.80032769397876e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.80032769397876e-05×40589641000000     		ar = 1272208.73579957m²