Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18751 / 14273
↖ ↑ ↗
← N 22.583582°
E 26.004639°		 ← 1 127.91 m → N 22.583582°
E 26.015625°		 →
↑
1 127.99 m
↓
↑
1 127.99 m
↓
N 22.573438°
E 26.004639°		 ← 1 127.99 m →
1 272 308 m²		 N 22.573438°
E 26.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572250366210938 y=0.435592651367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572250366210938 × 215)
    floor (0.572250366210938 × 32768)
    floor (18751.5)     		tx = 18751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435592651367188 × 215)
    floor (0.435592651367188 × 32768)
    floor (14273.5)     		ty = 14273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18751 / 14273 ti = "15/18751/14273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18751/14273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18751 ÷ 215
    18751 ÷ 32768     		x = 0.572235107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14273 ÷ 215
    14273 ÷ 32768     		y = 0.435577392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572235107421875 × 2 - 1) × π
    0.14447021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45386657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435577392578125 × 2 - 1) × π
    0.12884521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.404779180391754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45386657} λ = 0.45386657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404779180391754))-π/2
    2×atan(1.49897146121734)-π/2
    2×0.982477099481784-π/2
    1.96495419896357-1.57079632675     		φ = 0.39415787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45386657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.004639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39415787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.583582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18751 KachelY 14273 0.45386657 0.39415787 26.004639 22.583582
    Oben rechts KachelX + 1 18752 KachelY 14273 0.45405831 0.39415787 26.015625 22.583582
    Unten links KachelX 18751 KachelY + 1 14274 0.45386657 0.39398082 26.004639 22.573438
    Unten rechts KachelX + 1 18752 KachelY + 1 14274 0.45405831 0.39398082 26.015625 22.573438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39415787-0.39398082) × R
    0.000177050000000012 × 6371000     		dl = 1127.98555000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39415787-0.39398082) × R
    0.000177050000000012 × 6371000     		dr = 1127.98555000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45386657-0.45405831) × cos(0.39415787) × R
    0.000191739999999996 × 0.923320295558168 × 6371000     		do = 1127.9054886394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45386657-0.45405831) × cos(0.39398082) × R
    0.000191739999999996 × 0.923388273734003 × 6371000     		du = 1127.98852911626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39415787)-sin(0.39398082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923320295558168-0.923388273734003)×R²
    abs(0.45405831-0.45386657)×6.79781758355924e-05×R²
    0.000191739999999996×6.79781758355924e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.79781758355924e-05×40589641000000     		ar = 1272307.93050361m²