Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18751 / 13664
↖ ↑ ↗
← N 28.613460°
E 26.004639°		 ← 1 072.39 m → N 28.613460°
E 26.015625°		 →
↑
1 072.49 m
↓
↑
1 072.49 m
↓
N 28.603814°
E 26.004639°		 ← 1 072.48 m →
1 150 180 m²		 N 28.603814°
E 26.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572250366210938 y=0.417007446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572250366210938 × 215)
    floor (0.572250366210938 × 32768)
    floor (18751.5)     		tx = 18751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417007446289062 × 215)
    floor (0.417007446289062 × 32768)
    floor (13664.5)     		ty = 13664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18751 / 13664 ti = "15/18751/13664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18751/13664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18751 ÷ 215
    18751 ÷ 32768     		x = 0.572235107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13664 ÷ 215
    13664 ÷ 32768     		y = 0.4169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572235107421875 × 2 - 1) × π
    0.14447021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45386657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4169921875 × 2 - 1) × π
    0.166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.521553467866211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45386657} λ = 0.45386657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.521553467866211))-π/2
    2×atan(1.6846426562412)-π/2
    2×1.03509770205824-π/2
    2.07019540411649-1.57079632675     		φ = 0.49939908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45386657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.004639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49939908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.613460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18751 KachelY 13664 0.45386657 0.49939908 26.004639 28.613460
    Oben rechts KachelX + 1 18752 KachelY 13664 0.45405831 0.49939908 26.015625 28.613460
    Unten links KachelX 18751 KachelY + 1 13665 0.45386657 0.49923074 26.004639 28.603814
    Unten rechts KachelX + 1 18752 KachelY + 1 13665 0.45405831 0.49923074 26.015625 28.603814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49939908-0.49923074) × R
    0.000168339999999989 × 6371000     		dl = 1072.49413999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49939908-0.49923074) × R
    0.000168339999999989 × 6371000     		dr = 1072.49413999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45386657-0.45405831) × cos(0.49939908) × R
    0.000191739999999996 × 0.877870499818039 × 6371000     		do = 1072.38512986527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45386657-0.45405831) × cos(0.49923074) × R
    0.000191739999999996 × 0.877951105084294 × 6371000     		du = 1072.48359528692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49939908)-sin(0.49923074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877870499818039-0.877951105084294)×R²
    abs(0.45405831-0.45386657)×8.0605266255529e-05×R²
    0.000191739999999996×8.0605266255529e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.0605266255529e-05×40589641000000     		ar = 1150179.57211365m²