Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18750 / 7999
↖ ↑ ↗
← N 82.743549°
W128.501587°		 ← 38.58 m → N 82.743549°
W128.498840°		 →
↑
38.61 m
↓
↑
38.61 m
↓
N 82.743202°
W128.501587°		 ← 38.58 m →
1 489 m²		 N 82.743202°
W128.498840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143054962158203 y=0.0610313415527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143054962158203 × 217)
    floor (0.143054962158203 × 131072)
    floor (18750.5)     		tx = 18750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0610313415527344 × 217)
    floor (0.0610313415527344 × 131072)
    floor (7999.5)     		ty = 7999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18750 / 7999 ti = "17/18750/7999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18750/7999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18750 ÷ 217
    18750 ÷ 131072     		x = 0.143051147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7999 ÷ 217
    7999 ÷ 131072     		y = 0.0610275268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.143051147460938 × 2 - 1) × π
    -0.713897705078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.24277579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0610275268554688 × 2 - 1) × π
    0.877944946289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.75814539343917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24277579} λ = -2.24277579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75814539343917))-π/2
    2×atan(15.7705676113756)-π/2
    2×1.5074718476816-π/2
    3.01494369536319-1.57079632675     		φ = 1.44414737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24277579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.501587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44414737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.743549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18750 KachelY 7999 -2.24277579 1.44414737 -128.501587 82.743549
    Oben rechts KachelX + 1 18751 KachelY 7999 -2.24272785 1.44414737 -128.498840 82.743549
    Unten links KachelX 18750 KachelY + 1 8000 -2.24277579 1.44414131 -128.501587 82.743202
    Unten rechts KachelX + 1 18751 KachelY + 1 8000 -2.24272785 1.44414131 -128.498840 82.743202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44414737-1.44414131) × R
    6.06000000002993e-06 × 6371000     		dl = 38.6082600001907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44414737-1.44414131) × R
    6.06000000002993e-06 × 6371000     		dr = 38.6082600001907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24277579--2.24272785) × cos(1.44414737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.126310654230139 × 6371000     		do = 38.5785250380991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24277579--2.24272785) × cos(1.44414131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.126316665691675 × 6371000     		du = 38.5803610931871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44414737)-sin(1.44414131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126310654230139-0.126316665691675)×R²
    abs(-2.24272785--2.24277579)×6.01146153572651e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.01146153572651e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.01146153572651e-06×40589641000000     		ar = 1489.48516866041m²