Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1875 / 1859
↖ ↑ ↗
← S 81.174491°
E149.589844°		 ← 2 998.86 m → S 81.174491°
E149.765625°		 →
↑
2 994.31 m
↓
↑
2 994.31 m
↓
S 81.201420°
E149.589844°		 ← 2 989.78 m →
8 965 904 m²		 S 81.201420°
E149.765625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915771484375 y=0.907958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915771484375 × 211)
    floor (0.915771484375 × 2048)
    floor (1875.5)     		tx = 1875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907958984375 × 211)
    floor (0.907958984375 × 2048)
    floor (1859.5)     		ty = 1859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1875 / 1859 ti = "11/1875/1859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1875/1859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1875 ÷ 211
    1875 ÷ 2048     		x = 0.91552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1859 ÷ 211
    1859 ÷ 2048     		y = 0.90771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91552734375 × 2 - 1) × π
    0.8310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61083530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90771484375 × 2 - 1) × π
    -0.8154296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.5617479156958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61083530} λ = 2.61083530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5617479156958))-π/2
    2×atan(0.0771697362964249)-π/2
    2×0.0770170950756412-π/2
    0.154034190151282-1.57079632675     		φ = -1.41676214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61083530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41676214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.174491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1875 KachelY 1859 2.61083530 -1.41676214 149.589844 -81.174491
    Oben rechts KachelX + 1 1876 KachelY 1859 2.61390326 -1.41676214 149.765625 -81.174491
    Unten links KachelX 1875 KachelY + 1 1860 2.61083530 -1.41723213 149.589844 -81.201420
    Unten rechts KachelX + 1 1876 KachelY + 1 1860 2.61390326 -1.41723213 149.765625 -81.201420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41676214--1.41723213) × R
    0.000469990000000031 × 6371000     		dl = 2994.3062900002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41676214--1.41723213) × R
    0.000469990000000031 × 6371000     		dr = 2994.3062900002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61083530-2.61390326) × cos(-1.41676214) × R
    0.00306795999999965 × 0.15342579285378 × 6371000     		do = 2998.85642917136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61083530-2.61390326) × cos(-1.41723213) × R
    0.00306795999999965 × 0.152961350526349 × 6371000     		du = 2989.77845190503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41676214)-sin(-1.41723213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15342579285378-0.152961350526349)×R²
    abs(2.61390326-2.61083530)×0.000464442327431064×R²
    0.00306795999999965×0.000464442327431064×6371000²
    0.00306795999999965×0.000464442327431064×40589641000000     		ar = 8965903.7115076m²