Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18749 / 14172
↖ ↑ ↗
← N 23.604262°
E 25.982666°		 ← 1 119.43 m → N 23.604262°
E 25.993652°		 →
↑
1 119.45 m
↓
↑
1 119.45 m
↓
N 23.594195°
E 25.982666°		 ← 1 119.51 m →
1 253 190 m²		 N 23.594195°
E 25.993652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572189331054688 y=0.432510375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572189331054688 × 215)
    floor (0.572189331054688 × 32768)
    floor (18749.5)     		tx = 18749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432510375976562 × 215)
    floor (0.432510375976562 × 32768)
    floor (14172.5)     		ty = 14172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18749 / 14172 ti = "15/18749/14172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18749/14172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18749 ÷ 215
    18749 ÷ 32768     		x = 0.572174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14172 ÷ 215
    14172 ÷ 32768     		y = 0.4324951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572174072265625 × 2 - 1) × π
    0.14434814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45348307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4324951171875 × 2 - 1) × π
    0.135009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.424145687838257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45348307} λ = 0.45348307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.424145687838257))-π/2
    2×atan(1.52828422999168)-π/2
    2×0.991384206759021-π/2
    1.98276841351804-1.57079632675     		φ = 0.41197209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45348307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.982666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41197209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.604262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18749 KachelY 14172 0.45348307 0.41197209 25.982666 23.604262
    Oben rechts KachelX + 1 18750 KachelY 14172 0.45367482 0.41197209 25.993652 23.604262
    Unten links KachelX 18749 KachelY + 1 14173 0.45348307 0.41179638 25.982666 23.594195
    Unten rechts KachelX + 1 18750 KachelY + 1 14173 0.45367482 0.41179638 25.993652 23.594195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41197209-0.41179638) × R
    0.000175709999999996 × 6371000     		dl = 1119.44840999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41197209-0.41179638) × R
    0.000175709999999996 × 6371000     		dr = 1119.44840999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45348307-0.45367482) × cos(0.41197209) × R
    0.000191749999999991 × 0.916332946451931 × 6371000     		do = 1119.42829345377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45348307-0.45367482) × cos(0.41179638) × R
    0.000191749999999991 × 0.916403289611731 × 6371000     		du = 1119.51422741875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41197209)-sin(0.41179638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916332946451931-0.916403289611731)×R²
    abs(0.45367482-0.45348307)×7.03431598000348e-05×R²
    0.000191749999999991×7.03431598000348e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.03431598000348e-05×40589641000000     		ar = 1253190.32576002m²