Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18747 / 14171
↖ ↑ ↗
← N 23.614328°
E 25.960694°		 ← 1 119.28 m → N 23.614328°
E 25.971680°		 →
↑
1 119.32 m
↓
↑
1 119.32 m
↓
N 23.604262°
E 25.960694°		 ← 1 119.37 m →
1 252 886 m²		 N 23.604262°
E 25.971680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572128295898438 y=0.432479858398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572128295898438 × 215)
    floor (0.572128295898438 × 32768)
    floor (18747.5)     		tx = 18747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432479858398438 × 215)
    floor (0.432479858398438 × 32768)
    floor (14171.5)     		ty = 14171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18747 / 14171 ti = "15/18747/14171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18747/14171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18747 ÷ 215
    18747 ÷ 32768     		x = 0.572113037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14171 ÷ 215
    14171 ÷ 32768     		y = 0.432464599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572113037109375 × 2 - 1) × π
    0.14422607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45309958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432464599609375 × 2 - 1) × π
    0.13507080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.424337435436737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45309958} λ = 0.45309958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.424337435436737))-π/2
    2×atan(1.52857730291969)-π/2
    2×0.991472055707117-π/2
    1.98294411141423-1.57079632675     		φ = 0.41214778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45309958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.960694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41214778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.614328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18747 KachelY 14171 0.45309958 0.41214778 25.960694 23.614328
    Oben rechts KachelX + 1 18748 KachelY 14171 0.45329132 0.41214778 25.971680 23.614328
    Unten links KachelX 18747 KachelY + 1 14172 0.45309958 0.41197209 25.960694 23.604262
    Unten rechts KachelX + 1 18748 KachelY + 1 14172 0.45329132 0.41197209 25.971680 23.604262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41214778-0.41197209) × R
    0.000175690000000006 × 6371000     		dl = 1119.32099000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41214778-0.41197209) × R
    0.000175690000000006 × 6371000     		dr = 1119.32099000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45309958-0.45329132) × cos(0.41214778) × R
    0.000191739999999996 × 0.916262583012827 × 6371000     		do = 1119.28395962566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45309958-0.45329132) × cos(0.41197209) × R
    0.000191739999999996 × 0.916332946451931 × 6371000     		du = 1119.36991388178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41214778)-sin(0.41197209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916262583012827-0.916332946451931)×R²
    abs(0.45329132-0.45309958)×7.03634391033825e-05×R²
    0.000191739999999996×7.03634391033825e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.03634391033825e-05×40589641000000     		ar = 1252886.13820349m²