Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18746 / 14278
↖ ↑ ↗
← N 22.532854°
E 25.949707°		 ← 1 128.38 m → N 22.532854°
E 25.960694°		 →
↑
1 128.43 m
↓
↑
1 128.43 m
↓
N 22.522706°
E 25.949707°		 ← 1 128.46 m →
1 273 345 m²		 N 22.522706°
E 25.960694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572097778320312 y=0.435745239257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572097778320312 × 215)
    floor (0.572097778320312 × 32768)
    floor (18746.5)     		tx = 18746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435745239257812 × 215)
    floor (0.435745239257812 × 32768)
    floor (14278.5)     		ty = 14278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18746 / 14278 ti = "15/18746/14278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18746/14278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18746 ÷ 215
    18746 ÷ 32768     		x = 0.57208251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14278 ÷ 215
    14278 ÷ 32768     		y = 0.43572998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57208251953125 × 2 - 1) × π
    0.1441650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45290783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43572998046875 × 2 - 1) × π
    0.1285400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.403820442399353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45290783} λ = 0.45290783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403820442399353))-π/2
    2×atan(1.49753502901904)-π/2
    2×0.982034406925398-π/2
    1.9640688138508-1.57079632675     		φ = 0.39327249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45290783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.949707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39327249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.532854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18746 KachelY 14278 0.45290783 0.39327249 25.949707 22.532854
    Oben rechts KachelX + 1 18747 KachelY 14278 0.45309958 0.39327249 25.960694 22.532854
    Unten links KachelX 18746 KachelY + 1 14279 0.45290783 0.39309537 25.949707 22.522706
    Unten rechts KachelX + 1 18747 KachelY + 1 14279 0.45309958 0.39309537 25.960694 22.522706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39327249-0.39309537) × R
    0.000177119999999975 × 6371000     		dl = 1128.43151999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39327249-0.39309537) × R
    0.000177119999999975 × 6371000     		dr = 1128.43151999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45290783-0.45309958) × cos(0.39327249) × R
    0.000191749999999991 × 0.923659946781991 × 6371000     		do = 1128.37924464174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45290783-0.45309958) × cos(0.39309537) × R
    0.000191749999999991 × 0.923727807002857 × 6371000     		du = 1128.46214535106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39327249)-sin(0.39309537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923659946781991-0.923727807002857)×R²
    abs(0.45309958-0.45290783)×6.78602208663559e-05×R²
    0.000191749999999991×6.78602208663559e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.78602208663559e-05×40589641000000     		ar = 1273345.48338269m²