Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18740 / 7932
↖ ↑ ↗
← N 82.766756°
W128.529052°		 ← 38.45 m → N 82.766756°
W128.526306°		 →
↑
38.42 m
↓
↑
38.42 m
↓
N 82.766410°
W128.529052°		 ← 38.45 m →
1 477 m²		 N 82.766410°
W128.526306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.142978668212891 y=0.0605201721191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.142978668212891 × 217)
    floor (0.142978668212891 × 131072)
    floor (18740.5)     		tx = 18740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0605201721191406 × 217)
    floor (0.0605201721191406 × 131072)
    floor (7932.5)     		ty = 7932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18740 / 7932 ti = "17/18740/7932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18740/7932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18740 ÷ 217
    18740 ÷ 131072     		x = 0.142974853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7932 ÷ 217
    7932 ÷ 131072     		y = 0.060516357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.142974853515625 × 2 - 1) × π
    -0.71405029296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.24325515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.060516357421875 × 2 - 1) × π
    0.87896728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.76135716571371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24325515} λ = -2.24325515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76135716571371))-π/2
    2×atan(15.8213005108324)-π/2
    2×1.50767436541998-π/2
    3.01534873083996-1.57079632675     		φ = 1.44455240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24325515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.529052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44455240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.766756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18740 KachelY 7932 -2.24325515 1.44455240 -128.529052 82.766756
    Oben rechts KachelX + 1 18741 KachelY 7932 -2.24320722 1.44455240 -128.526306 82.766756
    Unten links KachelX 18740 KachelY + 1 7933 -2.24325515 1.44454637 -128.529052 82.766410
    Unten rechts KachelX + 1 18741 KachelY + 1 7933 -2.24320722 1.44454637 -128.526306 82.766410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44455240-1.44454637) × R
    6.02999999999021e-06 × 6371000     		dl = 38.4171299999376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44455240-1.44454637) × R
    6.02999999999021e-06 × 6371000     		dr = 38.4171299999376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24325515--2.24320722) × cos(1.44455240) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.125908857873079 × 6371000     		do = 38.4477844351283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24325515--2.24320722) × cos(1.44454637) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.125914839882924 × 6371000     		du = 38.4496111137983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44455240)-sin(1.44454637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.125908857873079-0.125914839882924)×R²
    abs(-2.24320722--2.24325515)×5.98200984558428e-06×R²
    4.79300000000293e-05×5.98200984558428e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×5.98200984558428e-06×40589641000000     		ar = 1477.08862060196m²