Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1874 / 1866
↖ ↑ ↗
← S 81.361287°
E149.414063°		 ← 2 935.87 m → S 81.361287°
E149.589844°		 →
↑
2 931.42 m
↓
↑
2 931.42 m
↓
S 81.387650°
E149.414063°		 ← 2 926.98 m →
8 593 252 m²		 S 81.387650°
E149.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915283203125 y=0.911376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915283203125 × 211)
    floor (0.915283203125 × 2048)
    floor (1874.5)     		tx = 1874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911376953125 × 211)
    floor (0.911376953125 × 2048)
    floor (1866.5)     		ty = 1866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1874 / 1866 ti = "11/1874/1866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1874/1866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1874 ÷ 211
    1874 ÷ 2048     		x = 0.9150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1866 ÷ 211
    1866 ÷ 2048     		y = 0.9111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9150390625 × 2 - 1) × π
    0.830078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60776734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9111328125 × 2 - 1) × π
    -0.822265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58322364672559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60776734} λ = 2.60776734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58322364672559))-π/2
    2×atan(0.0755301286980328)-π/2
    2×0.0753869902240554-π/2
    0.150773980448111-1.57079632675     		φ = -1.42002235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60776734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.414063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42002235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.361287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1874 KachelY 1866 2.60776734 -1.42002235 149.414063 -81.361287
    Oben rechts KachelX + 1 1875 KachelY 1866 2.61083530 -1.42002235 149.589844 -81.361287
    Unten links KachelX 1874 KachelY + 1 1867 2.60776734 -1.42048247 149.414063 -81.387650
    Unten rechts KachelX + 1 1875 KachelY + 1 1867 2.61083530 -1.42048247 149.589844 -81.387650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42002235--1.42048247) × R
    0.000460120000000064 × 6371000     		dl = 2931.42452000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42002235--1.42048247) × R
    0.000460120000000064 × 6371000     		dr = 2931.42452000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60776734-2.61083530) × cos(-1.42002235) × R
    0.00306796000000009 × 0.150203373507267 × 6371000     		do = 2935.87110711459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60776734-2.61083530) × cos(-1.42048247) × R
    0.00306796000000009 × 0.149748457629629 × 6371000     		du = 2926.97933358021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42002235)-sin(-1.42048247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150203373507267-0.149748457629629)×R²
    abs(2.61083530-2.60776734)×0.000454915877638518×R²
    0.00306796000000009×0.000454915877638518×6371000²
    0.00306796000000009×0.000454915877638518×40589641000000     		ar = 8593251.92108515m²