Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1874 / 1460
↖ ↑ ↗
← N 74.913708°
W 97.646485°		 ← 1 271.84 m → N 74.913708°
W 97.602539°		 →
↑
1 272.29 m
↓
↑
1 272.29 m
↓
N 74.902266°
W 97.646485°		 ← 1 272.78 m →
1 618 749 m²		 N 74.902266°
W 97.602539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22882080078125 y=0.17828369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22882080078125 × 213)
    floor (0.22882080078125 × 8192)
    floor (1874.5)     		tx = 1874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.17828369140625 × 213)
    floor (0.17828369140625 × 8192)
    floor (1460.5)     		ty = 1460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1874 / 1460 ti = "13/1874/1460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1874/1460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1874 ÷ 213
    1874 ÷ 8192     		x = 0.228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1460 ÷ 213
    1460 ÷ 8192     		y = 0.17822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228759765625 × 2 - 1) × π
    -0.54248046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.70425266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17822265625 × 2 - 1) × π
    0.6435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.02178667837549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70425266} λ = -1.70425266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02178667837549))-π/2
    2×atan(7.55180553497164)-π/2
    2×1.43914359449666-π/2
    2.87828718899333-1.57079632675     		φ = 1.30749086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70425266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.646485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30749086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.913708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1874 KachelY 1460 -1.70425266 1.30749086 -97.646485 74.913708
    Oben rechts KachelX + 1 1875 KachelY 1460 -1.70348566 1.30749086 -97.602539 74.913708
    Unten links KachelX 1874 KachelY + 1 1461 -1.70425266 1.30729116 -97.646485 74.902266
    Unten rechts KachelX + 1 1875 KachelY + 1 1461 -1.70348566 1.30729116 -97.602539 74.902266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30749086-1.30729116) × R
    0.000199700000000025 × 6371000     		dl = 1272.28870000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30749086-1.30729116) × R
    0.000199700000000025 × 6371000     		dr = 1272.28870000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70425266--1.70348566) × cos(1.30749086) × R
    0.000767000000000184 × 0.260273511614786 × 6371000     		do = 1271.84135009612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70425266--1.70348566) × cos(1.30729116) × R
    0.000767000000000184 × 0.260466323748964 × 6371000     		du = 1272.78353758007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30749086)-sin(1.30729116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.260273511614786-0.260466323748964)×R²
    abs(-1.70348566--1.70425266)×0.0001928121341776×R²
    0.000767000000000184×0.0001928121341776×6371000²
    0.000767000000000184×0.0001928121341776×40589641000000     		ar = 1618748.75054381m²