Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18739 / 14163
↖ ↑ ↗
← N 23.694835°
E 25.872802°		 ← 1 118.65 m → N 23.694835°
E 25.883789°		 →
↑
1 118.68 m
↓
↑
1 118.68 m
↓
N 23.684774°
E 25.872802°		 ← 1 118.74 m →
1 251 468 m²		 N 23.684774°
E 25.883789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571884155273438 y=0.432235717773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571884155273438 × 215)
    floor (0.571884155273438 × 32768)
    floor (18739.5)     		tx = 18739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432235717773438 × 215)
    floor (0.432235717773438 × 32768)
    floor (14163.5)     		ty = 14163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18739 / 14163 ti = "15/18739/14163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18739/14163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18739 ÷ 215
    18739 ÷ 32768     		x = 0.571868896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14163 ÷ 215
    14163 ÷ 32768     		y = 0.432220458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571868896484375 × 2 - 1) × π
    0.14373779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45156559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432220458984375 × 2 - 1) × π
    0.13555908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.425871416224579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45156559} λ = 0.45156559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.425871416224579))-π/2
    2×atan(1.53092391050043)-π/2
    2×0.99217460420106-π/2
    1.98434920840212-1.57079632675     		φ = 0.41355288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45156559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.872802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41355288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.694835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18739 KachelY 14163 0.45156559 0.41355288 25.872802 23.694835
    Oben rechts KachelX + 1 18740 KachelY 14163 0.45175734 0.41355288 25.883789 23.694835
    Unten links KachelX 18739 KachelY + 1 14164 0.45156559 0.41337729 25.872802 23.684774
    Unten rechts KachelX + 1 18740 KachelY + 1 14164 0.45175734 0.41337729 25.883789 23.684774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41355288-0.41337729) × R
    0.000175590000000003 × 6371000     		dl = 1118.68389000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41355288-0.41337729) × R
    0.000175590000000003 × 6371000     		dr = 1118.68389000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45156559-0.45175734) × cos(0.41355288) × R
    0.000191749999999991 × 0.915698826304913 × 6371000     		do = 1118.65362739296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45156559-0.45175734) × cos(0.41337729) × R
    0.000191749999999991 × 0.915769375703161 × 6371000     		du = 1118.73981330692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41355288)-sin(0.41337729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915698826304913-0.915769375703161)×R²
    abs(0.45175734-0.45156559)×7.05493982476879e-05×R²
    0.000191749999999991×7.05493982476879e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.05493982476879e-05×40589641000000     		ar = 1251468.0020671m²