Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18738 / 13874
↖ ↑ ↗
← N 26.568876°
E 25.861817°		 ← 1 092.57 m → N 26.568876°
E 25.872802°		 →
↑
1 092.63 m
↓
↑
1 092.63 m
↓
N 26.559050°
E 25.861817°		 ← 1 092.67 m →
1 193 826 m²		 N 26.559050°
E 25.872802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571853637695312 y=0.423416137695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571853637695312 × 215)
    floor (0.571853637695312 × 32768)
    floor (18738.5)     		tx = 18738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423416137695312 × 215)
    floor (0.423416137695312 × 32768)
    floor (13874.5)     		ty = 13874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18738 / 13874 ti = "15/18738/13874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18738/13874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18738 ÷ 215
    18738 ÷ 32768     		x = 0.57183837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13874 ÷ 215
    13874 ÷ 32768     		y = 0.42340087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57183837890625 × 2 - 1) × π
    0.1436767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45137385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42340087890625 × 2 - 1) × π
    0.1531982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.481286472185364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45137385} λ = 0.45137385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481286472185364))-π/2
    2×atan(1.61815477484465)-π/2
    2×1.01725535055012-π/2
    2.03451070110024-1.57079632675     		φ = 0.46371437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45137385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.861817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46371437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.568876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18738 KachelY 13874 0.45137385 0.46371437 25.861817 26.568876
    Oben rechts KachelX + 1 18739 KachelY 13874 0.45156559 0.46371437 25.872802 26.568876
    Unten links KachelX 18738 KachelY + 1 13875 0.45137385 0.46354287 25.861817 26.559050
    Unten rechts KachelX + 1 18739 KachelY + 1 13875 0.45156559 0.46354287 25.872802 26.559050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46371437-0.46354287) × R
    0.000171499999999991 × 6371000     		dl = 1092.62649999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46371437-0.46354287) × R
    0.000171499999999991 × 6371000     		dr = 1092.62649999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45137385-0.45156559) × cos(0.46371437) × R
    0.000191739999999996 × 0.894397332580204 × 6371000     		do = 1092.5739045212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45137385-0.45156559) × cos(0.46354287) × R
    0.000191739999999996 × 0.894474026798921 × 6371000     		du = 1092.66759230284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46371437)-sin(0.46354287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894397332580204-0.894474026798921)×R²
    abs(0.45156559-0.45137385)×7.66942187166997e-05×R²
    0.000191739999999996×7.66942187166997e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.66942187166997e-05×40589641000000     		ar = 1193826.38709084m²