Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18738 / 13829
↖ ↑ ↗
← N 27.010196°
E 25.861817°		 ← 1 088.33 m → N 27.010196°
E 25.872802°		 →
↑
1 088.42 m
↓
↑
1 088.42 m
↓
N 27.000408°
E 25.861817°		 ← 1 088.43 m →
1 184 617 m²		 N 27.000408°
E 25.872802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571853637695312 y=0.422042846679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571853637695312 × 215)
    floor (0.571853637695312 × 32768)
    floor (18738.5)     		tx = 18738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422042846679688 × 215)
    floor (0.422042846679688 × 32768)
    floor (13829.5)     		ty = 13829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18738 / 13829 ti = "15/18738/13829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18738/13829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18738 ÷ 215
    18738 ÷ 32768     		x = 0.57183837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13829 ÷ 215
    13829 ÷ 32768     		y = 0.422027587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57183837890625 × 2 - 1) × π
    0.1436767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45137385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422027587890625 × 2 - 1) × π
    0.15594482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.489915114116974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45137385} λ = 0.45137385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.489915114116974))-π/2
    2×atan(1.63217766523242)-π/2
    2×1.02110659306503-π/2
    2.04221318613005-1.57079632675     		φ = 0.47141686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45137385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.861817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47141686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.010196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18738 KachelY 13829 0.45137385 0.47141686 25.861817 27.010196
    Oben rechts KachelX + 1 18739 KachelY 13829 0.45156559 0.47141686 25.872802 27.010196
    Unten links KachelX 18738 KachelY + 1 13830 0.45137385 0.47124602 25.861817 27.000408
    Unten rechts KachelX + 1 18739 KachelY + 1 13830 0.45156559 0.47124602 25.872802 27.000408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47141686-0.47124602) × R
    0.000170840000000005 × 6371000     		dl = 1088.42164000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47141686-0.47124602) × R
    0.000170840000000005 × 6371000     		dr = 1088.42164000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45137385-0.45156559) × cos(0.47141686) × R
    0.000191739999999996 × 0.890925717039651 × 6371000     		do = 1088.33306389258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45137385-0.45156559) × cos(0.47124602) × R
    0.000191739999999996 × 0.891003290862896 × 6371000     		du = 1088.4278261776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47141686)-sin(0.47124602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890925717039651-0.891003290862896)×R²
    abs(0.45156559-0.45137385)×7.75738232451362e-05×R²
    0.000191739999999996×7.75738232451362e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.75738232451362e-05×40589641000000     		ar = 1184616.83181033m²