Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18735 / 13873
↖ ↑ ↗
← N 26.578703°
E 25.828857°		 ← 1 092.54 m → N 26.578703°
E 25.839844°		 →
↑
1 092.63 m
↓
↑
1 092.63 m
↓
N 26.568876°
E 25.828857°		 ← 1 092.63 m →
1 193 786 m²		 N 26.568876°
E 25.839844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571762084960938 y=0.423385620117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571762084960938 × 215)
    floor (0.571762084960938 × 32768)
    floor (18735.5)     		tx = 18735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423385620117188 × 215)
    floor (0.423385620117188 × 32768)
    floor (13873.5)     		ty = 13873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18735 / 13873 ti = "15/18735/13873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18735/13873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18735 ÷ 215
    18735 ÷ 32768     		x = 0.571746826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13873 ÷ 215
    13873 ÷ 32768     		y = 0.423370361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571746826171875 × 2 - 1) × π
    0.14349365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45079860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423370361328125 × 2 - 1) × π
    0.15325927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.481478219783844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45079860} λ = 0.45079860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481478219783844))-π/2
    2×atan(1.61846508188606)-π/2
    2×1.01734109614284-π/2
    2.03468219228568-1.57079632675     		φ = 0.46388587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45079860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.828857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46388587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.578703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18735 KachelY 13873 0.45079860 0.46388587 25.828857 26.578703
    Oben rechts KachelX + 1 18736 KachelY 13873 0.45099035 0.46388587 25.839844 26.578703
    Unten links KachelX 18735 KachelY + 1 13874 0.45079860 0.46371437 25.828857 26.568876
    Unten rechts KachelX + 1 18736 KachelY + 1 13874 0.45099035 0.46371437 25.839844 26.568876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46388587-0.46371437) × R
    0.000171499999999991 × 6371000     		dl = 1092.62649999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46388587-0.46371437) × R
    0.000171499999999991 × 6371000     		dr = 1092.62649999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45079860-0.45099035) × cos(0.46388587) × R
    0.000191749999999991 × 0.89432061205525 × 6371000     		do = 1092.53716177066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45079860-0.45099035) × cos(0.46371437) × R
    0.000191749999999991 × 0.894397332580204 × 6371000     		du = 1092.63088657523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46388587)-sin(0.46371437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89432061205525-0.894397332580204)×R²
    abs(0.45099035-0.45079860)×7.67205249544434e-05×R²
    0.000191749999999991×7.67205249544434e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.67205249544434e-05×40589641000000     		ar = 1193786.26121409m²