Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18733 / 14547
↖ ↑ ↗
← N 70.224169°
W 77.096557°		 ← 206.65 m → N 70.224169°
W 77.091065°		 →
↑
206.68 m
↓
↑
206.68 m
↓
N 70.222311°
W 77.096557°		 ← 206.67 m →
42 712 m²		 N 70.222311°
W 77.091065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.285850524902344 y=0.221977233886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.285850524902344 × 216)
    floor (0.285850524902344 × 65536)
    floor (18733.5)     		tx = 18733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221977233886719 × 216)
    floor (0.221977233886719 × 65536)
    floor (14547.5)     		ty = 14547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18733 / 14547 ti = "16/18733/14547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18733/14547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18733 ÷ 216
    18733 ÷ 65536     		x = 0.285842895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14547 ÷ 216
    14547 ÷ 65536     		y = 0.221969604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.285842895507812 × 2 - 1) × π
    -0.428314208984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.34558877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221969604492188 × 2 - 1) × π
    0.556060791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74691649595409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.34558877} λ = -1.34558877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74691649595409))-π/2
    2×atan(5.73688566464752)-π/2
    2×1.39821965006047-π/2
    2.79643930012095-1.57079632675     		φ = 1.22564297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.34558877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.096557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22564297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.224169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18733 KachelY 14547 -1.34558877 1.22564297 -77.096557 70.224169
    Oben rechts KachelX + 1 18734 KachelY 14547 -1.34549290 1.22564297 -77.091065 70.224169
    Unten links KachelX 18733 KachelY + 1 14548 -1.34558877 1.22561053 -77.096557 70.222311
    Unten rechts KachelX + 1 18734 KachelY + 1 14548 -1.34549290 1.22561053 -77.091065 70.222311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22564297-1.22561053) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dl = 206.675240000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22564297-1.22561053) × R
    3.24400000000225e-05 × 6371000     		dr = 206.675240000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.34558877--1.34549290) × cos(1.22564297) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338340993585487 × 6371000     		do = 206.654540971659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.34558877--1.34549290) × cos(1.22561053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338371520212285 × 6371000     		du = 206.673186261967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22564297)-sin(1.22561053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338340993585487-0.338371520212285)×R²
    abs(-1.34549290--1.34558877)×3.05266267983106e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05266267983106e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05266267983106e-05×40589641000000     		ar = 42712.3036161163m²