Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18733 / 13693
↖ ↑ ↗
← N 28.333395°
E 25.806885°		 ← 1 075.29 m → N 28.333395°
E 25.817871°		 →
↑
1 075.30 m
↓
↑
1 075.30 m
↓
N 28.323725°
E 25.806885°		 ← 1 075.39 m →
1 156 307 m²		 N 28.323725°
E 25.817871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571701049804688 y=0.417892456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571701049804688 × 215)
    floor (0.571701049804688 × 32768)
    floor (18733.5)     		tx = 18733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417892456054688 × 215)
    floor (0.417892456054688 × 32768)
    floor (13693.5)     		ty = 13693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18733 / 13693 ti = "15/18733/13693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18733/13693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18733 ÷ 215
    18733 ÷ 32768     		x = 0.571685791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13693 ÷ 215
    13693 ÷ 32768     		y = 0.417877197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571685791015625 × 2 - 1) × π
    0.14337158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45041511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417877197265625 × 2 - 1) × π
    0.16424560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.515992787510284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45041511} λ = 0.45041511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515992787510284))-π/2
    2×atan(1.67530089426354)-π/2
    2×1.03265368037652-π/2
    2.06530736075305-1.57079632675     		φ = 0.49451103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45041511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.806885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49451103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.333395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18733 KachelY 13693 0.45041511 0.49451103 25.806885 28.333395
    Oben rechts KachelX + 1 18734 KachelY 13693 0.45060686 0.49451103 25.817871 28.333395
    Unten links KachelX 18733 KachelY + 1 13694 0.45041511 0.49434225 25.806885 28.323725
    Unten rechts KachelX + 1 18734 KachelY + 1 13694 0.45060686 0.49434225 25.817871 28.323725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49451103-0.49434225) × R
    0.000168780000000035 × 6371000     		dl = 1075.29738000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49451103-0.49434225) × R
    0.000168780000000035 × 6371000     		dr = 1075.29738000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45041511-0.45060686) × cos(0.49451103) × R
    0.000191749999999991 × 0.880200880856882 × 6371000     		do = 1075.28794393929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45041511-0.45060686) × cos(0.49434225) × R
    0.000191749999999991 × 0.880280971529646 × 6371000     		du = 1075.3857858487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49451103)-sin(0.49434225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880200880856882-0.880280971529646)×R²
    abs(0.45060686-0.45041511)×8.00906727638218e-05×R²
    0.000191749999999991×8.00906727638218e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.00906727638218e-05×40589641000000     		ar = 1156306.91618314m²