Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18732 / 14061
↖ ↑ ↗
← N 24.716896°
E 25.795898°		 ← 1 109.72 m → N 24.716896°
E 25.806885°		 →
↑
1 109.76 m
↓
↑
1 109.76 m
↓
N 24.706915°
E 25.795898°		 ← 1 109.81 m →
1 231 576 m²		 N 24.706915°
E 25.806885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571670532226562 y=0.429122924804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571670532226562 × 215)
    floor (0.571670532226562 × 32768)
    floor (18732.5)     		tx = 18732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429122924804688 × 215)
    floor (0.429122924804688 × 32768)
    floor (14061.5)     		ty = 14061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18732 / 14061 ti = "15/18732/14061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18732/14061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18732 ÷ 215
    18732 ÷ 32768     		x = 0.5716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14061 ÷ 215
    14061 ÷ 32768     		y = 0.429107666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5716552734375 × 2 - 1) × π
    0.143310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45022336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429107666015625 × 2 - 1) × π
    0.14178466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.445429671269562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45022336} λ = 0.45022336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445429671269562))-π/2
    2×atan(1.5611608377037)-π/2
    2×1.00109376667965-π/2
    2.0021875333593-1.57079632675     		φ = 0.43139121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45022336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.795898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43139121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.716896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18732 KachelY 14061 0.45022336 0.43139121 25.795898 24.716896
    Oben rechts KachelX + 1 18733 KachelY 14061 0.45041511 0.43139121 25.806885 24.716896
    Unten links KachelX 18732 KachelY + 1 14062 0.45022336 0.43121702 25.795898 24.706915
    Unten rechts KachelX + 1 18733 KachelY + 1 14062 0.45041511 0.43121702 25.806885 24.706915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43139121-0.43121702) × R
    0.000174190000000018 × 6371000     		dl = 1109.76449000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43139121-0.43121702) × R
    0.000174190000000018 × 6371000     		dr = 1109.76449000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45022336-0.45041511) × cos(0.43139121) × R
    0.000191749999999991 × 0.908384915397242 × 6371000     		do = 1109.71866675715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45022336-0.45041511) × cos(0.43121702) × R
    0.000191749999999991 × 0.908457736544525 × 6371000     		du = 1109.8076279289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43139121)-sin(0.43121702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908384915397242-0.908457736544525)×R²
    abs(0.45041511-0.45022336)×7.28211472824647e-05×R²
    0.000191749999999991×7.28211472824647e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.28211472824647e-05×40589641000000     		ar = 1231575.736346m²