Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18730 / 13686
↖ ↑ ↗
← N 28.401065°
E 25.773926°		 ← 1 074.55 m → N 28.401065°
E 25.784912°		 →
↑
1 074.60 m
↓
↑
1 074.60 m
↓
N 28.391401°
E 25.773926°		 ← 1 074.64 m →
1 154 757 m²		 N 28.391401°
E 25.784912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571609497070312 y=0.417678833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571609497070312 × 215)
    floor (0.571609497070312 × 32768)
    floor (18730.5)     		tx = 18730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417678833007812 × 215)
    floor (0.417678833007812 × 32768)
    floor (13686.5)     		ty = 13686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18730 / 13686 ti = "15/18730/13686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18730/13686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18730 ÷ 215
    18730 ÷ 32768     		x = 0.57159423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13686 ÷ 215
    13686 ÷ 32768     		y = 0.41766357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57159423828125 × 2 - 1) × π
    0.1431884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44983987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41766357421875 × 2 - 1) × π
    0.1646728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.517335020699646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44983987} λ = 0.44983987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.517335020699646))-π/2
    2×atan(1.67755104850402)-π/2
    2×1.03324420954462-π/2
    2.06648841908925-1.57079632675     		φ = 0.49569209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44983987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.773926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49569209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.401065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18730 KachelY 13686 0.44983987 0.49569209 25.773926 28.401065
    Oben rechts KachelX + 1 18731 KachelY 13686 0.45003161 0.49569209 25.784912 28.401065
    Unten links KachelX 18730 KachelY + 1 13687 0.44983987 0.49552342 25.773926 28.391401
    Unten rechts KachelX + 1 18731 KachelY + 1 13687 0.45003161 0.49552342 25.784912 28.391401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49569209-0.49552342) × R
    0.000168669999999982 × 6371000     		dl = 1074.59656999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49569209-0.49552342) × R
    0.000168669999999982 × 6371000     		dr = 1074.59656999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44983987-0.45003161) × cos(0.49569209) × R
    0.000191740000000051 × 0.879639734459454 × 6371000     		do = 1074.54638362805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44983987-0.45003161) × cos(0.49552342) × R
    0.000191740000000051 × 0.8797199482388 × 6371000     		du = 1074.64437081887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49569209)-sin(0.49552342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879639734459454-0.8797199482388)×R²
    abs(0.45003161-0.44983987)×8.02137793457502e-05×R²
    0.000191740000000051×8.02137793457502e-05×6371000²
    0.000191740000000051×8.02137793457502e-05×40589641000000     		ar = 1154756.50923983m²