Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1873 / 940
↖ ↑ ↗
← N 69.287257°
W 15.380859°		 ← 3 456.54 m → N 69.287257°
W 15.292969°		 →
↑
3 459.01 m
↓
↑
3 459.01 m
↓
N 69.256149°
W 15.380859°		 ← 3 461.50 m →
11 964 773 m²		 N 69.256149°
W 15.292969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4573974609375 y=0.2296142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4573974609375 × 212)
    floor (0.4573974609375 × 4096)
    floor (1873.5)     		tx = 1873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2296142578125 × 212)
    floor (0.2296142578125 × 4096)
    floor (940.5)     		ty = 940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1873 / 940 ti = "12/1873/940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1873/940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1873 ÷ 212
    1873 ÷ 4096     		x = 0.457275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 940 ÷ 212
    940 ÷ 4096     		y = 0.2294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.08544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26844664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2294921875 × 2 - 1) × π
    0.541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69965071292871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26844664} λ = -0.26844664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69965071292871))-π/2
    2×atan(5.47203574655026)-π/2
    2×1.39004354512992-π/2
    2.78008709025984-1.57079632675     		φ = 1.20929076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26844664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.380859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20929076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.287257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1873 KachelY 940 -0.26844664 1.20929076 -15.380859 69.287257
    Oben rechts KachelX + 1 1874 KachelY 940 -0.26691266 1.20929076 -15.292969 69.287257
    Unten links KachelX 1873 KachelY + 1 941 -0.26844664 1.20874783 -15.380859 69.256149
    Unten rechts KachelX + 1 1874 KachelY + 1 941 -0.26691266 1.20874783 -15.292969 69.256149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20929076-1.20874783) × R
    0.000542929999999942 × 6371000     		dl = 3459.00702999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20929076-1.20874783) × R
    0.000542929999999942 × 6371000     		dr = 3459.00702999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26844664--0.26691266) × cos(1.20929076) × R
    0.00153397999999999 × 0.353682888668491 × 6371000     		do = 3456.53812453277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26844664--0.26691266) × cos(1.20874783) × R
    0.00153397999999999 × 0.354190674447077 × 6371000     		du = 3461.50070813241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20929076)-sin(1.20874783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353682888668491-0.354190674447077)×R²
    abs(-0.26691266--0.26844664)×0.00050778577858579×R²
    0.00153397999999999×0.00050778577858579×6371000²
    0.00153397999999999×0.00050778577858579×40589641000000     		ar = 11964772.7719036m²