Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1873 / 1971
↖ ↑ ↗
← N 79.484628°
W138.845215°		 ← 445.90 m → N 79.484628°
W138.823242°		 →
↑
445.97 m
↓
↑
445.97 m
↓
N 79.480618°
W138.845215°		 ← 446.06 m →
198 894 m²		 N 79.480618°
W138.823242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114349365234375 y=0.120330810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114349365234375 × 214)
    floor (0.114349365234375 × 16384)
    floor (1873.5)     		tx = 1873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120330810546875 × 214)
    floor (0.120330810546875 × 16384)
    floor (1971.5)     		ty = 1971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1873 / 1971 ti = "14/1873/1971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1873/1971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1873 ÷ 214
    1873 ÷ 16384     		x = 0.11431884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1971 ÷ 214
    1971 ÷ 16384     		y = 0.12030029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11431884765625 × 2 - 1) × π
    -0.7713623046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.42330615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12030029296875 × 2 - 1) × π
    0.7593994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38572362029095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42330615} λ = -2.42330615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38572362029095))-π/2
    2×atan(10.866923346737)-π/2
    2×1.47903240075045-π/2
    2.95806480150089-1.57079632675     		φ = 1.38726847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42330615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.845215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38726847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.484628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1873 KachelY 1971 -2.42330615 1.38726847 -138.845215 79.484628
    Oben rechts KachelX + 1 1874 KachelY 1971 -2.42292265 1.38726847 -138.823242 79.484628
    Unten links KachelX 1873 KachelY + 1 1972 -2.42330615 1.38719847 -138.845215 79.480618
    Unten rechts KachelX + 1 1874 KachelY + 1 1972 -2.42292265 1.38719847 -138.823242 79.480618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38726847-1.38719847) × R
    7.00000000000145e-05 × 6371000     		dl = 445.970000000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38726847-1.38719847) × R
    7.00000000000145e-05 × 6371000     		dr = 445.970000000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42330615--2.42292265) × cos(1.38726847) × R
    0.000383500000000314 × 0.182499311803348 × 6371000     		do = 445.896644794281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42330615--2.42292265) × cos(1.38719847) × R
    0.000383500000000314 × 0.182568135774842 × 6371000     		du = 446.064800924119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38726847)-sin(1.38719847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182499311803348-0.182568135774842)×R²
    abs(-2.42292265--2.42330615)×6.88239714946581e-05×R²
    0.000383500000000314×6.88239714946581e-05×6371000²
    0.000383500000000314×6.88239714946581e-05×40589641000000     		ar = 198894.023053919m²