Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18729 / 13514
↖ ↑ ↗
← N 30.050077°
E 25.762940°		 ← 1 057.44 m → N 30.050077°
E 25.773926°		 →
↑
1 057.52 m
↓
↑
1 057.52 m
↓
N 30.040566°
E 25.762940°		 ← 1 057.54 m →
1 118 316 m²		 N 30.040566°
E 25.773926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571578979492188 y=0.412429809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571578979492188 × 215)
    floor (0.571578979492188 × 32768)
    floor (18729.5)     		tx = 18729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412429809570312 × 215)
    floor (0.412429809570312 × 32768)
    floor (13514.5)     		ty = 13514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18729 / 13514 ti = "15/18729/13514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18729/13514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18729 ÷ 215
    18729 ÷ 32768     		x = 0.571563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13514 ÷ 215
    13514 ÷ 32768     		y = 0.41241455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571563720703125 × 2 - 1) × π
    0.14312744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44964812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41241455078125 × 2 - 1) × π
    0.1751708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.550315607638245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44964812} λ = 0.44964812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.550315607638245))-π/2
    2×atan(1.73380013209102)-π/2
    2×1.04763455128058-π/2
    2.09526910256117-1.57079632675     		φ = 0.52447278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44964812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.762940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52447278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.050077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18729 KachelY 13514 0.44964812 0.52447278 25.762940 30.050077
    Oben rechts KachelX + 1 18730 KachelY 13514 0.44983987 0.52447278 25.773926 30.050077
    Unten links KachelX 18729 KachelY + 1 13515 0.44964812 0.52430679 25.762940 30.040566
    Unten rechts KachelX + 1 18730 KachelY + 1 13515 0.44983987 0.52430679 25.773926 30.040566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52447278-0.52430679) × R
    0.000165989999999949 × 6371000     		dl = 1057.52228999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52447278-0.52430679) × R
    0.000165989999999949 × 6371000     		dr = 1057.52228999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44964812-0.44983987) × cos(0.52447278) × R
    0.000191749999999991 × 0.865588070867903 × 6371000     		do = 1057.43636170396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44964812-0.44983987) × cos(0.52430679) × R
    0.000191749999999991 × 0.865671179550664 × 6371000     		du = 1057.53789053284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52447278)-sin(0.52430679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865588070867903-0.865671179550664)×R²
    abs(0.44983987-0.44964812)×8.31086827608463e-05×R²
    0.000191749999999991×8.31086827608463e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.31086827608463e-05×40589641000000     		ar = 1118316.20982553m²