Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18729 / 13511
↖ ↑ ↗
← N 30.078601°
E 25.762940°		 ← 1 057.13 m → N 30.078601°
E 25.773926°		 →
↑
1 057.20 m
↓
↑
1 057.20 m
↓
N 30.069094°
E 25.762940°		 ← 1 057.23 m →
1 117 657 m²		 N 30.069094°
E 25.773926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571578979492188 y=0.412338256835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571578979492188 × 215)
    floor (0.571578979492188 × 32768)
    floor (18729.5)     		tx = 18729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412338256835938 × 215)
    floor (0.412338256835938 × 32768)
    floor (13511.5)     		ty = 13511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18729 / 13511 ti = "15/18729/13511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18729/13511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18729 ÷ 215
    18729 ÷ 32768     		x = 0.571563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13511 ÷ 215
    13511 ÷ 32768     		y = 0.412322998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571563720703125 × 2 - 1) × π
    0.14312744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44964812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412322998046875 × 2 - 1) × π
    0.17535400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.550890850433685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44964812} λ = 0.44964812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.550890850433685))-π/2
    2×atan(1.73479777504169)-π/2
    2×1.04788347706761-π/2
    2.09576695413522-1.57079632675     		φ = 0.52497063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44964812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.762940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52497063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.078601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18729 KachelY 13511 0.44964812 0.52497063 25.762940 30.078601
    Oben rechts KachelX + 1 18730 KachelY 13511 0.44983987 0.52497063 25.773926 30.078601
    Unten links KachelX 18729 KachelY + 1 13512 0.44964812 0.52480469 25.762940 30.069094
    Unten rechts KachelX + 1 18730 KachelY + 1 13512 0.44983987 0.52480469 25.773926 30.069094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52497063-0.52480469) × R
    0.000165940000000031 × 6371000     		dl = 1057.2037400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52497063-0.52480469) × R
    0.000165940000000031 × 6371000     		dr = 1057.2037400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44964812-0.44983987) × cos(0.52497063) × R
    0.000191749999999991 × 0.865338661875674 × 6371000     		do = 1057.13167388975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44964812-0.44983987) × cos(0.52480469) × R
    0.000191749999999991 × 0.86542181702994 × 6371000     		du = 1057.23325949004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52497063)-sin(0.52480469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865338661875674-0.86542181702994)×R²
    abs(0.44983987-0.44964812)×8.31551542664899e-05×R²
    0.000191749999999991×8.31551542664899e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.31551542664899e-05×40589641000000     		ar = 1117657.26021245m²