Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18728 / 13512
↖ ↑ ↗
← N 30.069094°
E 25.751953°		 ← 1 057.23 m → N 30.069094°
E 25.762940°		 →
↑
1 057.27 m
↓
↑
1 057.27 m
↓
N 30.059586°
E 25.751953°		 ← 1 057.33 m →
1 117 832 m²		 N 30.059586°
E 25.762940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571548461914062 y=0.412368774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571548461914062 × 215)
    floor (0.571548461914062 × 32768)
    floor (18728.5)     		tx = 18728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412368774414062 × 215)
    floor (0.412368774414062 × 32768)
    floor (13512.5)     		ty = 13512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18728 / 13512 ti = "15/18728/13512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18728/13512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18728 ÷ 215
    18728 ÷ 32768     		x = 0.571533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13512 ÷ 215
    13512 ÷ 32768     		y = 0.412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571533203125 × 2 - 1) × π
    0.14306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44945637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412353515625 × 2 - 1) × π
    0.17529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.550699102835205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44945637} λ = 0.44945637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.550699102835205))-π/2
    2×atan(1.73446516362421)-π/2
    2×1.04780050977614-π/2
    2.09560101955229-1.57079632675     		φ = 0.52480469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44945637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52480469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.069094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18728 KachelY 13512 0.44945637 0.52480469 25.751953 30.069094
    Oben rechts KachelX + 1 18729 KachelY 13512 0.44964812 0.52480469 25.762940 30.069094
    Unten links KachelX 18728 KachelY + 1 13513 0.44945637 0.52463874 25.751953 30.059586
    Unten rechts KachelX + 1 18729 KachelY + 1 13513 0.44964812 0.52463874 25.762940 30.059586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52480469-0.52463874) × R
    0.00016594999999997 × 6371000     		dl = 1057.26744999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52480469-0.52463874) × R
    0.00016594999999997 × 6371000     		dr = 1057.26744999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44945637-0.44964812) × cos(0.52480469) × R
    0.000191749999999991 × 0.86542181702994 × 6371000     		do = 1057.23325949004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44945637-0.44964812) × cos(0.52463874) × R
    0.000191749999999991 × 0.865504953362883 × 6371000     		du = 1057.33482209746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52480469)-sin(0.52463874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86542181702994-0.865504953362883)×R²
    abs(0.44964812-0.44945637)×8.31363329425461e-05×R²
    0.000191749999999991×8.31363329425461e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.31363329425461e-05×40589641000000     		ar = 1117832.00430081m²