Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18728 / 13510
↖ ↑ ↗
← N 30.088108°
E 25.751953°		 ← 1 057.03 m → N 30.088108°
E 25.762940°		 →
↑
1 057.08 m
↓
↑
1 057.08 m
↓
N 30.078601°
E 25.751953°		 ← 1 057.13 m →
1 117 415 m²		 N 30.078601°
E 25.762940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571548461914062 y=0.412307739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571548461914062 × 215)
    floor (0.571548461914062 × 32768)
    floor (18728.5)     		tx = 18728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412307739257812 × 215)
    floor (0.412307739257812 × 32768)
    floor (13510.5)     		ty = 13510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18728 / 13510 ti = "15/18728/13510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18728/13510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18728 ÷ 215
    18728 ÷ 32768     		x = 0.571533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13510 ÷ 215
    13510 ÷ 32768     		y = 0.41229248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571533203125 × 2 - 1) × π
    0.14306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44945637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41229248046875 × 2 - 1) × π
    0.1754150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.551082598032166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44945637} λ = 0.44945637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.551082598032166))-π/2
    2×atan(1.73513045024272)-π/2
    2×1.04796643638618-π/2
    2.09593287277236-1.57079632675     		φ = 0.52513655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44945637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52513655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.088108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18728 KachelY 13510 0.44945637 0.52513655 25.751953 30.088108
    Oben rechts KachelX + 1 18729 KachelY 13510 0.44964812 0.52513655 25.762940 30.088108
    Unten links KachelX 18728 KachelY + 1 13511 0.44945637 0.52497063 25.751953 30.078601
    Unten rechts KachelX + 1 18729 KachelY + 1 13511 0.44964812 0.52497063 25.762940 30.078601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52513655-0.52497063) × R
    0.000165920000000042 × 6371000     		dl = 1057.07632000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52513655-0.52497063) × R
    0.000165920000000042 × 6371000     		dr = 1057.07632000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44945637-0.44964812) × cos(0.52513655) × R
    0.000191749999999991 × 0.865255492919993 × 6371000     		do = 1057.03007142911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44945637-0.44964812) × cos(0.52497063) × R
    0.000191749999999991 × 0.865338661875674 × 6371000     		du = 1057.13167388975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52513655)-sin(0.52497063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865255492919993-0.865338661875674)×R²
    abs(0.44964812-0.44945637)×8.31689556807236e-05×R²
    0.000191749999999991×8.31689556807236e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.31689556807236e-05×40589641000000     		ar = 1117415.16137653m²