Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18727 / 14523
↖ ↑ ↗
← N 70.268727°
W 77.129517°		 ← 206.23 m → N 70.268727°
W 77.124023°		 →
↑
206.23 m
↓
↑
206.23 m
↓
N 70.266872°
W 77.129517°		 ← 206.25 m →
42 532 m²		 N 70.266872°
W 77.124023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.285758972167969 y=0.221611022949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.285758972167969 × 216)
    floor (0.285758972167969 × 65536)
    floor (18727.5)     		tx = 18727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221611022949219 × 216)
    floor (0.221611022949219 × 65536)
    floor (14523.5)     		ty = 14523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18727 / 14523 ti = "16/18727/14523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18727/14523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18727 ÷ 216
    18727 ÷ 65536     		x = 0.285751342773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14523 ÷ 216
    14523 ÷ 65536     		y = 0.221603393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.285751342773438 × 2 - 1) × π
    -0.428497314453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.34616402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221603393554688 × 2 - 1) × π
    0.556793212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74921746713585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.34616402} λ = -1.34616402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74921746713585))-π/2
    2×atan(5.75010127176971)-π/2
    2×1.39860848533731-π/2
    2.79721697067461-1.57079632675     		φ = 1.22642064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.34616402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.129517°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22642064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.268727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18727 KachelY 14523 -1.34616402 1.22642064 -77.129517 70.268727
    Oben rechts KachelX + 1 18728 KachelY 14523 -1.34606814 1.22642064 -77.124023 70.268727
    Unten links KachelX 18727 KachelY + 1 14524 -1.34616402 1.22638827 -77.129517 70.266872
    Unten rechts KachelX + 1 18728 KachelY + 1 14524 -1.34606814 1.22638827 -77.124023 70.266872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22642064-1.22638827) × R
    3.23700000000038e-05 × 6371000     		dl = 206.229270000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22642064-1.22638827) × R
    3.23700000000038e-05 × 6371000     		dr = 206.229270000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.34616402--1.34606814) × cos(1.22642064) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.337609085544951 × 6371000     		do = 206.229009566444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.34616402--1.34606814) × cos(1.22638827) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.337639554809156 × 6371000     		du = 206.247621761579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22642064)-sin(1.22638827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337609085544951-0.337639554809156)×R²
    abs(-1.34606814--1.34616402)×3.04692642050797e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.04692642050797e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.04692642050797e-05×40589641000000     		ar = 42532.37728936m²