Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18727 / 13513
↖ ↑ ↗
← N 30.059586°
E 25.740967°		 ← 1 057.33 m → N 30.059586°
E 25.751953°		 →
↑
1 057.33 m
↓
↑
1 057.33 m
↓
N 30.050077°
E 25.740967°		 ← 1 057.44 m →
1 118 007 m²		 N 30.050077°
E 25.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571517944335938 y=0.412399291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571517944335938 × 215)
    floor (0.571517944335938 × 32768)
    floor (18727.5)     		tx = 18727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412399291992188 × 215)
    floor (0.412399291992188 × 32768)
    floor (13513.5)     		ty = 13513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18727 / 13513 ti = "15/18727/13513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18727/13513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18727 ÷ 215
    18727 ÷ 32768     		x = 0.571502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13513 ÷ 215
    13513 ÷ 32768     		y = 0.412384033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571502685546875 × 2 - 1) × π
    0.14300537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44926462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412384033203125 × 2 - 1) × π
    0.17523193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.550507355236725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44926462} λ = 0.44926462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.550507355236725))-π/2
    2×atan(1.73413261597807)-π/2
    2×1.0477175345133-π/2
    2.09543506902659-1.57079632675     		φ = 0.52463874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44926462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.740967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52463874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.059586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18727 KachelY 13513 0.44926462 0.52463874 25.740967 30.059586
    Oben rechts KachelX + 1 18728 KachelY 13513 0.44945637 0.52463874 25.751953 30.059586
    Unten links KachelX 18727 KachelY + 1 13514 0.44926462 0.52447278 25.740967 30.050077
    Unten rechts KachelX + 1 18728 KachelY + 1 13514 0.44945637 0.52447278 25.751953 30.050077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52463874-0.52447278) × R
    0.000165960000000021 × 6371000     		dl = 1057.33116000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52463874-0.52447278) × R
    0.000165960000000021 × 6371000     		dr = 1057.33116000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44926462-0.44945637) × cos(0.52463874) × R
    0.000191749999999991 × 0.865504953362883 × 6371000     		do = 1057.33482209746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44926462-0.44945637) × cos(0.52447278) × R
    0.000191749999999991 × 0.865588070867903 × 6371000     		du = 1057.43636170396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52463874)-sin(0.52447278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865504953362883-0.865588070867903)×R²
    abs(0.44945637-0.44926462)×8.31175050206578e-05×R²
    0.000191749999999991×8.31175050206578e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.31175050206578e-05×40589641000000     		ar = 1118006.7370177m²