Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18726 / 13810
↖ ↑ ↗
← N 27.196014°
E 25.729981°		 ← 1 086.53 m → N 27.196014°
E 25.740967°		 →
↑
1 086.57 m
↓
↑
1 086.57 m
↓
N 27.186242°
E 25.729981°		 ← 1 086.62 m →
1 180 645 m²		 N 27.186242°
E 25.740967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571487426757812 y=0.421463012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571487426757812 × 215)
    floor (0.571487426757812 × 32768)
    floor (18726.5)     		tx = 18726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421463012695312 × 215)
    floor (0.421463012695312 × 32768)
    floor (13810.5)     		ty = 13810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18726 / 13810 ti = "15/18726/13810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18726/13810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18726 ÷ 215
    18726 ÷ 32768     		x = 0.57147216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13810 ÷ 215
    13810 ÷ 32768     		y = 0.42144775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57147216796875 × 2 - 1) × π
    0.1429443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44907288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42144775390625 × 2 - 1) × π
    0.1571044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.493558318488098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44907288} λ = 0.44907288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493558318488098))-π/2
    2×atan(1.63813486709966)-π/2
    2×1.02272816059423-π/2
    2.04545632118846-1.57079632675     		φ = 0.47465999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44907288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.729981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47465999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.196014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18726 KachelY 13810 0.44907288 0.47465999 25.729981 27.196014
    Oben rechts KachelX + 1 18727 KachelY 13810 0.44926462 0.47465999 25.740967 27.196014
    Unten links KachelX 18726 KachelY + 1 13811 0.44907288 0.47448944 25.729981 27.186242
    Unten rechts KachelX + 1 18727 KachelY + 1 13811 0.44926462 0.47448944 25.740967 27.186242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47465999-0.47448944) × R
    0.000170549999999992 × 6371000     		dl = 1086.57404999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47465999-0.47448944) × R
    0.000170549999999992 × 6371000     		dr = 1086.57404999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44907288-0.44926462) × cos(0.47465999) × R
    0.000191739999999996 × 0.889448169861455 × 6371000     		do = 1086.52812840049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44907288-0.44926462) × cos(0.47448944) × R
    0.000191739999999996 × 0.889526104423978 × 6371000     		du = 1086.62333135579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47465999)-sin(0.47448944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889448169861455-0.889526104423978)×R²
    abs(0.44926462-0.44907288)×7.79345625232519e-05×R²
    0.000191739999999996×7.79345625232519e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.79345625232519e-05×40589641000000     		ar = 1180644.99430727m²