Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18726 / 13734
↖ ↑ ↗
← N 27.936180°
E 25.729981°		 ← 1 079.23 m → N 27.936180°
E 25.740967°		 →
↑
1 079.31 m
↓
↑
1 079.31 m
↓
N 27.926474°
E 25.729981°		 ← 1 079.32 m →
1 164 872 m²		 N 27.926474°
E 25.740967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571487426757812 y=0.419143676757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571487426757812 × 215)
    floor (0.571487426757812 × 32768)
    floor (18726.5)     		tx = 18726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419143676757812 × 215)
    floor (0.419143676757812 × 32768)
    floor (13734.5)     		ty = 13734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18726 / 13734 ti = "15/18726/13734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18726/13734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18726 ÷ 215
    18726 ÷ 32768     		x = 0.57147216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13734 ÷ 215
    13734 ÷ 32768     		y = 0.41912841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57147216796875 × 2 - 1) × π
    0.1429443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44907288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41912841796875 × 2 - 1) × π
    0.1617431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.508131135972595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44907288} λ = 0.44907288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508131135972595))-π/2
    2×atan(1.66218189846764)-π/2
    2×1.02918732905192-π/2
    2.05837465810385-1.57079632675     		φ = 0.48757833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44907288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.729981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48757833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.936180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18726 KachelY 13734 0.44907288 0.48757833 25.729981 27.936180
    Oben rechts KachelX + 1 18727 KachelY 13734 0.44926462 0.48757833 25.740967 27.936180
    Unten links KachelX 18726 KachelY + 1 13735 0.44907288 0.48740892 25.729981 27.926474
    Unten rechts KachelX + 1 18727 KachelY + 1 13735 0.44926462 0.48740892 25.740967 27.926474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48757833-0.48740892) × R
    0.000169409999999981 × 6371000     		dl = 1079.31110999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48757833-0.48740892) × R
    0.000169409999999981 × 6371000     		dr = 1079.31110999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44907288-0.44926462) × cos(0.48757833) × R
    0.000191739999999996 × 0.883469970877867 × 6371000     		do = 1079.22530674889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44907288-0.44926462) × cos(0.48740892) × R
    0.000191739999999996 × 0.883549324716522 × 6371000     		du = 1079.3222434572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48757833)-sin(0.48740892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883469970877867-0.883549324716522)×R²
    abs(0.44926462-0.44907288)×7.93538386545389e-05×R²
    0.000191739999999996×7.93538386545389e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.93538386545389e-05×40589641000000     		ar = 1164872.17898613m²