Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 18724 / 7956
↖ ↑ ↗
← N 82.758452°
W128.572998°		 ← 38.50 m → N 82.758452°
W128.570252°		 →
↑
38.54 m
↓
↑
38.54 m
↓
N 82.758105°
W128.572998°		 ← 38.50 m →
1 484 m²		 N 82.758105°
W128.570252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.142856597900391 y=0.0607032775878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.142856597900391 × 217)
    floor (0.142856597900391 × 131072)
    floor (18724.5)     		tx = 18724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0607032775878906 × 217)
    floor (0.0607032775878906 × 131072)
    floor (7956.5)     		ty = 7956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18724 / 7956 ti = "17/18724/7956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18724/7956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18724 ÷ 217
    18724 ÷ 131072     		x = 0.142852783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7956 ÷ 217
    7956 ÷ 131072     		y = 0.060699462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.142852783203125 × 2 - 1) × π
    -0.71429443359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.24402215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.060699462890625 × 2 - 1) × π
    0.87860107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.76020668012283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24402215} λ = -2.24402215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76020668012283))-π/2
    2×atan(15.8031087992233)-π/2
    2×1.50760189591123-π/2
    3.01520379182246-1.57079632675     		φ = 1.44440747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24402215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.572998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44440747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.758452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18724 KachelY 7956 -2.24402215 1.44440747 -128.572998 82.758452
    Oben rechts KachelX + 1 18725 KachelY 7956 -2.24397421 1.44440747 -128.570252 82.758452
    Unten links KachelX 18724 KachelY + 1 7957 -2.24402215 1.44440142 -128.572998 82.758105
    Unten rechts KachelX + 1 18725 KachelY + 1 7957 -2.24397421 1.44440142 -128.570252 82.758105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44440747-1.44440142) × R
    6.05000000009071e-06 × 6371000     		dl = 38.5445500005779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44440747-1.44440142) × R
    6.05000000009071e-06 × 6371000     		dr = 38.5445500005779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24402215--2.24397421) × cos(1.44440747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.12605263317025 × 6371000     		do = 38.4997187649471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24402215--2.24397421) × cos(1.44440142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.126058634910451 × 6371000     		du = 38.5015518508892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44440747)-sin(1.44440142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12605263317025-0.126058634910451)×R²
    abs(-2.24397421--2.24402215)×6.00174020087829e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.00174020087829e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.00174020087829e-06×40589641000000     		ar = 1483.98966275414m²