Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18723 / 7957
↖ ↑ ↗
← N 82.758105°
W128.575745°		 ← 38.49 m → N 82.758105°
W128.572998°		 →
↑
38.48 m
↓
↑
38.48 m
↓
N 82.757759°
W128.575745°		 ← 38.50 m →
1 481 m²		 N 82.757759°
W128.572998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.142848968505859 y=0.0607109069824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.142848968505859 × 217)
    floor (0.142848968505859 × 131072)
    floor (18723.5)     		tx = 18723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0607109069824219 × 217)
    floor (0.0607109069824219 × 131072)
    floor (7957.5)     		ty = 7957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18723 / 7957 ti = "17/18723/7957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18723/7957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18723 ÷ 217
    18723 ÷ 131072     		x = 0.142845153808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7957 ÷ 217
    7957 ÷ 131072     		y = 0.0607070922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.142845153808594 × 2 - 1) × π
    -0.714309692382812 × 3.1415926535     		Λ = -2.24407008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0607070922851562 × 2 - 1) × π
    0.878585815429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.76015874322321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24407008} λ = -2.24407008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76015874322321))-π/2
    2×atan(15.8023512653402)-π/2
    2×1.50759887455306-π/2
    3.01519774910612-1.57079632675     		φ = 1.44440142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24407008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.575745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44440142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.758105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18723 KachelY 7957 -2.24407008 1.44440142 -128.575745 82.758105
    Oben rechts KachelX + 1 18724 KachelY 7957 -2.24402215 1.44440142 -128.572998 82.758105
    Unten links KachelX 18723 KachelY + 1 7958 -2.24407008 1.44439538 -128.575745 82.757759
    Unten rechts KachelX + 1 18724 KachelY + 1 7958 -2.24402215 1.44439538 -128.572998 82.757759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44440142-1.44439538) × R
    6.03999999992944e-06 × 6371000     		dl = 38.4808399995504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44440142-1.44439538) × R
    6.03999999992944e-06 × 6371000     		dr = 38.4808399995504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24407008--2.24402215) × cos(1.44440142) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.126058634910451 × 6371000     		do = 38.4935206553079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24407008--2.24402215) × cos(1.44439538) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.126064626725818 × 6371000     		du = 38.4953503282115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44440142)-sin(1.44439538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126058634910451-0.126064626725818)×R²
    abs(-2.24402215--2.24407008)×5.99181536634075e-06×R²
    4.79300000000293e-05×5.99181536634075e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×5.99181536634075e-06×40589641000000     		ar = 1481.29821304322m²