Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18722 / 14113
↖ ↑ ↗
← N 80.282641°
W128.578491°		 ← 51.55 m → N 80.282641°
W128.575745°		 →
↑
51.54 m
↓
↑
51.54 m
↓
N 80.282177°
W128.578491°		 ← 51.55 m →
2 657 m²		 N 80.282177°
W128.575745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.142841339111328 y=0.107677459716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.142841339111328 × 217)
    floor (0.142841339111328 × 131072)
    floor (18722.5)     		tx = 18722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107677459716797 × 217)
    floor (0.107677459716797 × 131072)
    floor (14113.5)     		ty = 14113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18722 / 14113 ti = "17/18722/14113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18722/14113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18722 ÷ 217
    18722 ÷ 131072     		x = 0.142837524414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14113 ÷ 217
    14113 ÷ 131072     		y = 0.107673645019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.142837524414062 × 2 - 1) × π
    -0.714324951171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.24411802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107673645019531 × 2 - 1) × π
    0.784652709960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.46505918916215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24411802} λ = -2.24411802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46505918916215))-π/2
    2×atan(11.7641784432391)-π/2
    2×1.48599636869084-π/2
    2.97199273738168-1.57079632675     		φ = 1.40119641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24411802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.578491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40119641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.282641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18722 KachelY 14113 -2.24411802 1.40119641 -128.578491 80.282641
    Oben rechts KachelX + 1 18723 KachelY 14113 -2.24407008 1.40119641 -128.575745 80.282641
    Unten links KachelX 18722 KachelY + 1 14114 -2.24411802 1.40118832 -128.578491 80.282177
    Unten rechts KachelX + 1 18723 KachelY + 1 14114 -2.24407008 1.40118832 -128.575745 80.282177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40119641-1.40118832) × R
    8.09000000012716e-06 × 6371000     		dl = 51.5413900008102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40119641-1.40118832) × R
    8.09000000012716e-06 × 6371000     		dr = 51.5413900008102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24411802--2.24407008) × cos(1.40119641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16878801962485 × 6371000     		do = 51.5522057970206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24411802--2.24407008) × cos(1.40118832) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.168795993547041 × 6371000     		du = 51.5546412381064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40119641)-sin(1.40118832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16878801962485-0.168795993547041)×R²
    abs(-2.24407008--2.24411802)×7.97392219073489e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.97392219073489e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.97392219073489e-06×40589641000000     		ar = 2657.13510742936m²