Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18721 / 14117
↖ ↑ ↗
← N 24.156778°
E 25.675049°		 ← 1 114.66 m → N 24.156778°
E 25.686035°		 →
↑
1 114.73 m
↓
↑
1 114.73 m
↓
N 24.146753°
E 25.675049°		 ← 1 114.75 m →
1 242 597 m²		 N 24.146753°
E 25.686035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571334838867188 y=0.430831909179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571334838867188 × 215)
    floor (0.571334838867188 × 32768)
    floor (18721.5)     		tx = 18721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430831909179688 × 215)
    floor (0.430831909179688 × 32768)
    floor (14117.5)     		ty = 14117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18721 / 14117 ti = "15/18721/14117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18721/14117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18721 ÷ 215
    18721 ÷ 32768     		x = 0.571319580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14117 ÷ 215
    14117 ÷ 32768     		y = 0.430816650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571319580078125 × 2 - 1) × π
    0.14263916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44811414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430816650390625 × 2 - 1) × π
    0.13836669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.434691805754669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44811414} λ = 0.44811414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.434691805754669))-π/2
    2×atan(1.54448698359293)-π/2
    2×0.996205821814402-π/2
    1.9924116436288-1.57079632675     		φ = 0.42161532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44811414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.675049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42161532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.156778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18721 KachelY 14117 0.44811414 0.42161532 25.675049 24.156778
    Oben rechts KachelX + 1 18722 KachelY 14117 0.44830589 0.42161532 25.686035 24.156778
    Unten links KachelX 18721 KachelY + 1 14118 0.44811414 0.42144035 25.675049 24.146753
    Unten rechts KachelX + 1 18722 KachelY + 1 14118 0.44830589 0.42144035 25.686035 24.146753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42161532-0.42144035) × R
    0.000174969999999997 × 6371000     		dl = 1114.73386999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42161532-0.42144035) × R
    0.000174969999999997 × 6371000     		dr = 1114.73386999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44811414-0.44830589) × cos(0.42161532) × R
    0.000191749999999991 × 0.912429085741337 × 6371000     		do = 1114.65918398318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44811414-0.44830589) × cos(0.42144035) × R
    0.000191749999999991 × 0.912500675596117 × 6371000     		du = 1114.74664095968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42161532)-sin(0.42144035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912429085741337-0.912500675596117)×R²
    abs(0.44830589-0.44811414)×7.15898547807292e-05×R²
    0.000191749999999991×7.15898547807292e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.15898547807292e-05×40589641000000     		ar = 1242597.09468937m²