Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18720 / 14116
↖ ↑ ↗
← N 24.166802°
E 25.664062°		 ← 1 114.57 m → N 24.166802°
E 25.675049°		 →
↑
1 114.61 m
↓
↑
1 114.61 m
↓
N 24.156778°
E 25.664062°		 ← 1 114.66 m →
1 242 358 m²		 N 24.156778°
E 25.675049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571304321289062 y=0.430801391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571304321289062 × 215)
    floor (0.571304321289062 × 32768)
    floor (18720.5)     		tx = 18720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430801391601562 × 215)
    floor (0.430801391601562 × 32768)
    floor (14116.5)     		ty = 14116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18720 / 14116 ti = "15/18720/14116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18720/14116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18720 ÷ 215
    18720 ÷ 32768     		x = 0.5712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14116 ÷ 215
    14116 ÷ 32768     		y = 0.4307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5712890625 × 2 - 1) × π
    0.142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44792239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4307861328125 × 2 - 1) × π
    0.138427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.434883553353149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44792239} λ = 0.44792239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.434883553353149))-π/2
    2×atan(1.54478316365792)-π/2
    2×0.996293296424964-π/2
    1.99258659284993-1.57079632675     		φ = 0.42179027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44792239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42179027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.166802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18720 KachelY 14116 0.44792239 0.42179027 25.664062 24.166802
    Oben rechts KachelX + 1 18721 KachelY 14116 0.44811414 0.42179027 25.675049 24.166802
    Unten links KachelX 18720 KachelY + 1 14117 0.44792239 0.42161532 25.664062 24.156778
    Unten rechts KachelX + 1 18721 KachelY + 1 14117 0.44811414 0.42161532 25.675049 24.156778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42179027-0.42161532) × R
    0.000174950000000007 × 6371000     		dl = 1114.60645000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42179027-0.42161532) × R
    0.000174950000000007 × 6371000     		dr = 1114.60645000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44792239-0.44811414) × cos(0.42179027) × R
    0.000191749999999991 × 0.912357476140885 × 6371000     		do = 1114.57170288459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44792239-0.44811414) × cos(0.42161532) × R
    0.000191749999999991 × 0.912429085741337 × 6371000     		du = 1114.65918398318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42179027)-sin(0.42161532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912357476140885-0.912429085741337)×R²
    abs(0.44811414-0.44792239)×7.16096004519384e-05×R²
    0.000191749999999991×7.16096004519384e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.16096004519384e-05×40589641000000     		ar = 1242357.56568999m²