Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1872 / 1852
↖ ↑ ↗
← S 80.983688°
E149.062500°		 ← 3 063.16 m → S 80.983688°
E149.238281°		 →
↑
3 058.53 m
↓
↑
3 058.53 m
↓
S 81.011194°
E149.062500°		 ← 3 053.89 m →
9 354 581 m²		 S 81.011194°
E149.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914306640625 y=0.904541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914306640625 × 211)
    floor (0.914306640625 × 2048)
    floor (1872.5)     		tx = 1872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904541015625 × 211)
    floor (0.904541015625 × 2048)
    floor (1852.5)     		ty = 1852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1872 / 1852 ti = "11/1872/1852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1872/1852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1872 ÷ 211
    1872 ÷ 2048     		x = 0.9140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1852 ÷ 211
    1852 ÷ 2048     		y = 0.904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9140625 × 2 - 1) × π
    0.828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60163142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904296875 × 2 - 1) × π
    -0.80859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54027218466602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60163142} λ = 2.60163142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54027218466602))-π/2
    2×atan(0.0788449364871116)-π/2
    2×0.0786821627091556-π/2
    0.157364325418311-1.57079632675     		φ = -1.41343200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60163142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41343200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.983688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1872 KachelY 1852 2.60163142 -1.41343200 149.062500 -80.983688
    Oben rechts KachelX + 1 1873 KachelY 1852 2.60469938 -1.41343200 149.238281 -80.983688
    Unten links KachelX 1872 KachelY + 1 1853 2.60163142 -1.41391207 149.062500 -81.011194
    Unten rechts KachelX + 1 1873 KachelY + 1 1853 2.60469938 -1.41391207 149.238281 -81.011194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41343200--1.41391207) × R
    0.000480070000000055 × 6371000     		dl = 3058.52597000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41343200--1.41391207) × R
    0.000480070000000055 × 6371000     		dr = 3058.52597000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60163142-2.60469938) × cos(-1.41343200) × R
    0.00306796000000009 × 0.156715647755291 × 6371000     		do = 3063.15984477703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60163142-2.60469938) × cos(-1.41391207) × R
    0.00306796000000009 × 0.156241491572525 × 6371000     		du = 3053.89200075503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41343200)-sin(-1.41391207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156715647755291-0.156241491572525)×R²
    abs(2.60469938-2.60163142)×0.000474156182766527×R²
    0.00306796000000009×0.000474156182766527×6371000²
    0.00306796000000009×0.000474156182766527×40589641000000     		ar = 9354581.144364m²